Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Analyse combinatoire 11:28 PM https://www.facebook.com/ecours/ 1 Chapitre 1 Ana

Analyse combinatoire 11:28 PM https://www.facebook.com/ecours/ 1 Chapitre 1 Analyse combinatoire 11:28 PM https://www.facebook.com/ecours/ 2 Analyse combinatoire : contexte et définition Définition L’analyse combinatoire est un ensemble de formules qui ont pour but de dénombrer les différentes dispositions que l’on peut former à partir des éléments d’un ensemble fini. 11:28 PM https://www.facebook.com/ecours/ 3 Exemple: On choisit une comite de 3 personnes parmi 10, constituée de président, vice président et trésorier . Combien y a-t-il de comités différents possibles ? Analyse combinatoire comités différents ? Définition L’analyse combinatoire est un ensemble de formules qui ont pour but de dénombrer les différentes dispositions que l’on peut former à partir des éléments d’un ensemble fini. différentes dispositions 11:28 PM 4 Analyse combinatoire : contexte et définition Exemple: Le directeur d'un laboratoire doit choisir 3 personnes parmi 10 pour former un groupe de recherche. Combien y a-t-il de comités différents possibles ? Analyse combinatoire comités différents ? différentes dispositions 11:28 PM https://www.facebook.com/ecours/ 5 Analyse combinatoire Définition Une disposition est une collection d’éléments. Une disposition peut être : Disposition Ordonnée Si (a , b)  (b , a) alors on parle de disposition ordonnée. Exemple: Former des chiffres avec 1,2 : 12  21 alors 12 et 21 sont deux dispositions ordonnées 11:28 PM https://www.facebook.com/ecours/ 6 Analyse combinatoire Exemples Dispositions Ordonnées: Création d’une comité de trois membres (p1, p2 et p3) pour remplir les postes de président, de vice-président et de trésorier: (p1, p2, p3) ≠ (p2, p1, p3) ≠ (p3, p2, p1) vice-président trésorier président 11:28 PM https://www.facebook.com/ecours/ 7 Analyse combinatoire : contexte et définition Disposition non Ordonnée Si (a , b) = (b , a) alors on parle de disposition non ordonnée. Exemple: Construire des plats à partir des pommes et des oranges : {pomme, orange} = {orange, pommes} même plat le plat {pomme, orange} et le même que le plat {orange, pommes} Les deux dispositions sont les mêmes alors on a deux dispositions non ordonnées Exemples 11:28 PM https://www.facebook.com/ecours/ 8 Analyse combinatoire Exemples Dispositions non Ordonnées Création d’un groupe de trois gagnants dans une compétition : (p1, p2 et p3) (p1, p2, p3) = (p2, p1, p3) = (p3, p2, p1) Adam Yassine) Mohamed (Adam Yassine) (Mohamed Adam (Yassine Mohamed) 11:28 PM https://www.facebook.com/ecours/ 9 Les trois groupes contiennent les mêmes gagnants: même disposition on les compte une seule fois. Le dénombrement correspond au calcul du nombre de résultats ( l'univers des résultats possibles), lors d'une expérience aléatoire à plusieurs étapes. Définition Le dénombrement est utilisé pour compter les divers types de groupements que l'on peut faire à partir d'ensembles finis. Exemple former des nombres à partir des chiffres 1, 2, 3 et 4 (ensembles finis) les divers types de groupements = 24 Nombres 1234 -1243 -1324 -…………………………..…….- 4321 Lors d'une expérience aléatoire à plusieurs étapes, il est souvent utile de dénombrer les résultats possibles. On utilise les Techniques de dénombrement. La permutation L'arrangement La combinaison 11:28 PM https://www.facebook.com/ecours/ 10 Analyse combinatoire : notions générales La notion factorielle : Définition On désigne par factorielle n et l’on note n!, le produit des n premiers entiers positifs. n! = n  (n-1)  (n-2) … 3  2  1 Par convention, on a 0! = 1 Exemples : 4! = 4  3  2  1 = 24 5! = 5  4  3  2  1 = 120 11:28 PM https://www.facebook.com/ecours/ 11 PERMUTATIONS Définition La permutation d'un ensemble d'éléments est une disposition ordonnée de tous les éléments de cet ensemble. Exemple : Soit un ensemble D = {A, B, C}, on cherche toutes les dispositions ordonnées de ces 3 lettres. P1 = (A ; B ; C) P2 = (A ; C ; B) P3 = (B ; A ; C) P4 = (B ; C ; A) P5 = (C ; A ; B) P6 = (C ; B ; A) Changer les postions 1 2 3 11:28 PM https://www.facebook.com/ecours/ 12 Permutation sans répétition Définition Une permutation sans répétitions de ces n éléments est un arrangement sans répétitions de ces n éléments pris de n à la fois. Le nombre de permutations est déterminé de la manière suivante : Par convention, on a 0! = 1 ! n A P n n n   11:28 PM https://www.facebook.com/ecours/ 13 Analyse combinatoire : Permutation sans répétition Exemple explicatif Soit un ensemble des boulles: A = {B, R, N}, on cherche toutes les dispositions ordonnées de ces 3 lettres. Réponse P1 = (B ; R ; N) P2 = (B ; N ; R) P3 = (R ; B ; N) P4 = (R ; N ; B) P5 = (N ; B ; R) P6 = (N ; R ; B) 1 2 3 ! 3 3     P 3 possibilités 2 possibilités 1 possibilité B R N B N R R B N N R N B R B 11:28 PM https://www.facebook.com/ecours/ 14 PERMUTATIONS Exemple : Soit un ensemble D = {a, b, c, d}, on cherche toutes les dispositions ordonnées de ces 4 lettres. Le classement ordonné de 4 éléments distincts est une permutation de ces 4 éléments. n=4 n!=4! = 24 Voici les 24 permutations de 4 éléments distincts a, b, c, d : Changer les postions 11:28 PM https://www.facebook.com/ecours/ 15 Permutation sans répétition Exemple : Soit un ensemble A = {1, 2,3}, on cherche toutes les dispositions ordonnées de ces 3 Chiffres. P1 = (1 ; 2 ; 3) P2 = (1; 3 ; 2) P3 = (2 ; 1; 3) P4 = (2 ; 3 ; 1) P5 = (3 ; 1 ; 2) P6 = (3; 2 ; 1) Le nombre de permutations est déterminé de la manière suivante : 6 1 2 3 ! 3 3      P 6 dispositions 11:28 PM https://www.facebook.com/ecours/ 16 Exemple 1. De combien de façons peut-on ranger 4 livres différents sur une étagère ? Solution: Il y a 4! manières de ranger 4 livres différents sur une étagère. 24 1 2 3 4 ! 4 4 4       P P manières 11:28 PM https://www.facebook.com/ecours/ 17 Exemple 1. De combien de façons peut-on ranger 4 livres différents sur une étagère en gardant le livre 1 prés de livre 2? Solution: On considère le groupe livre 1 et 2 comme un seul L1L2 Il y a 3! façons d’arranger le livre L1L2, le livre 3 et le livre 4 et 2! façons d’arranger le livre 1 et 2 entre eux. Donc on a 3!x2! = 12 façons L1L2 L3 L4 L2L1 L3 L4 L1L2 L4 L3 L2L1 L4 L3 L3 L1L2 L4 L3 L2L1 L4 L3 L4 L1L2 L3 L4 L2L1 L4 L1L2 L3 L4 L2L1 L3 L4 L3 L1L2 L4 L3 L2L1 12 1 2 1 2 3 ! 2 ! 3 3 3         P P 11:28 PM https://www.facebook.com/ecours/ 18 La permutation des 3 éléments Groupe L1L2, livre L3 et livre L4 La permutation des 2 éléments livre L1 et livre L2 de Groupe L1L2 L1L2 devient L2L1 ! 3 ! 2 Permutation avec répétition Définition. Le nombre de permutations avec répétition d’un groupe de n éléments composé de k sous groupes différents, contenant respectivement n1, n2, ..., nk éléments identiques est égale à Avec RRRRBBNNNNN VVVVVVVV 523783260 ! 8 ! 5 ! 2 ! 4 ! 19 19      r P k n n n n     ......... 2 1 4 2 5 8 19 8 5 2 4      n ! !......... ! ! 2 1 k nr n n n n P    11:28 PM https://www.facebook.com/ecours/ 19 Exemple Considérons la disposition : aabcc, elle est composée de 3 groupes distincts, contenant respectivement 2, 1 et 2 éléments. Les permutations possibles de cette disposition sont : aa b cc G1 G2 G3 ! 2 ! 1 ! 2 ! 5 5    r P     30 4 120 1 2 1 1 2 1 2 3 4 5 5            r P 5 2 1 2     n 11:28 PM https://www.facebook.com/ecours/ 20 Exemple De combien de façons peut-on ranger 5 livres de probabilité 3 livres de statistique et 2 livres de math sur une étagère ? Solution: On a de 3 groupes des livres , contenant respectivement 5, 3 et 2 éléments. Les permutations possibles de cette disposition sont : 5 de proba + 3 de statis + 2 de math= 10 livres ! 2 ! 3 ! 5 ! 10 9    r P       2520 1 2 1 2 3 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10                     r uploads/Management/ cours-s2-probabilite-2019.pdf