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DÉVELOPPEMENT LIMITÉS EDJA Kouamé Table des matières Objectifs 3 Introduction I

DÉVELOPPEMENT LIMITÉS EDJA Kouamé Table des matières Objectifs 3 Introduction I - Définitions 4 1. Formule de Taylor-Young ............................................................................................................................... 4 II - Quiz 5 III - Calcul du développement limité 6 1. Développements limités au voisinage d'un point ............................................................................................ 6 2. Opérations sur les développements limités ..................................................................................................... 6 IV - Quiz 8 V - Applications des développements 9 1. Calculs de limites ............................................................................................................................................ 9 2. Équation d'une courbe par rapport a sa tangente ............................................................................................ 9 VI - Quiz 11 Solutions des exercices 12 Bibliographie 14 Webographie 15 3 Connaître la formule de Taylor-Young ; Calculer les développements limités des fonctions Utiliser les développements limités. Objectifs Définitions 4 1. Formule de Taylor-Young Pour n'importe quelle fonction, nous allons trouver le polynôme de degré qui approche le mieux la fonction. Les résultats ne sont valables que pour autour d'une valeur fixée (ce sera souvent autour de ). Ce polynôme sera calculé à partir des dérivées successives au point considéré. Soit un intervalle ouvert. Pour entier non nul , on dit que est une fonction de classe , si est fois dérivable sur et est continue. est de classe si est continue sur . Soit est une fonction de classe , et soit . Alors pour tout on a où est une fonction définie sur telle que . Le terme se note souvent « petit o » de On se ramène souvent au cas particulier où , la formule de Taylor-Young s'écrit alors : la notation « petit o » donne : Soit , ; est infiniment dérivable. Nous allons calculer les formules de Taylor en pour les premiers ordres. Tous d'abord. Ensuite donc . Ensuite donc , donc , donc , on peut montrer par récurrence que , donc d'où la formule de Taylor en est Définitions I Définition Théorème (Formule de Taylor-Young) Notation Cas particulier : Formule de Taylor-Young au voisinage de 0. Exemple Quiz 5 Exercice Exercice Exercice Quiz II On considère une fonction . Exercice Si est dérivable en tout point de , elle est de classe sur .  Vrai  Faux On choisit . La fonction dérivée seconde de est une fonction constante  Vrai  Faux [ ] solution n°1 * [ ] p.12 La formule de Taylor à l'ordre 4 de en 0 est    [ ] solution n°2 * [ ] p.12 Calcul du développement limité 6 - - 1. Développements limités au voisinage d'un point On dit que admet un développement limité au voisinage du point et à , s'il existe des réels et tels pour l'ordre tout : . • L'égalité précédente s'appelle de au à l' . un voisinage de a ordre n • Le terme est appelé la du . partie polynomiale • Le terme est appelé le du reste Un développement limité voisinage du point et à , est noté l'ordre 1. Si admet un alors ce est unique. 2. Si est paire (resp. impaire) alors la partie polynomiale de son en 0 ne contient que des monômes de degrés pairs (resp. impairs). dev_limites.pdf [cf. ] dev_limites.pdf 2. Opérations sur les développements limités On suppose que et sont deux fonctions qui admettent des : et admet un qui est : . admet un qui est : où est le polynôme tronqué à l'ordre . Calcul du développement limité III Définition NB Propriétés DL des fonctions usuelles au voisinage de Somme et produit Opérations sur les développements limités 7 1. 2. 3. Tronquer un polynôme à l'ordre n signifie que l'on conserve seulement les monômes de degré Soit et . admet un dont la partie polynomiale est le polynôme tronqué à l'ordre de la composition . Soient et Pour obtenir le DL d'un quotient . On va utiliser le DL de Si , on écrit et on pose et le quotient s'écrit . Si alors on factorise par (où est le plus petit degré des monômes de la partie polynomiale de ) afin de se ramener aux cas précédents. Autre méthode : le DL de est obtenu par le quotient de la division de par suivant les puissances croissantes, à l'ordre . Composition Division Quiz 8 Exercice Exercice Quiz IV Si admet un développement limité à l'ordre un en , elle est dérivable en .  Vrai  Faux [ ] solution n°3 * [ ] p.12 On considère la fonction définie par Exercice Exercice Exercice La fonction admet un développement limité au voisinage de 0 à l'ordre deux, donné par  Vrai  Faux La fonction admet un développement limité au voisinage de à l'ordre deux, donné par  Vrai  Faux La fonction admet un développement limité au voisinage de à l'ordre deux, donné par  Vrai  Faux Applications des développements 9 1. 1. Calculs de limites Pour l'étude locale d'une fonction ou pour le calcul de limite on recherche un DL comportant au moins un terme non nul. Pour le calcul des limites ayant des formes indéterminées ! Il suffit juste de remarquer que si alors Limite en 0 de . Naturellement , ce qui est une forme indéterminée. Posons et En 0, on a . Ainsi en notant une fonction (inconnue) tendant vers quand tend vers . Donc . En calculant le DL à un ordre inférieur (2 par exemple), on n'aurait pas pu conclure, car on aurait obtenu , ce qui ne lève pas l'indétermination. De façon générale, on calcule les DL à l'ordre le plus bas possible, et si cela ne suffit pas, on augmente progressivement l'ordre 2. Équation d'une courbe par rapport a sa tangente Soit une fonction admettant un en a : f (x) = c_0 + c_1(x - a) + c_k(x - a)^k +o( (x - a)^k), où est le plus petit entier supérieur ou égal à tel que le coefficient soit non nul. Alors l'équation de la tangente à la courbe de en a est : et la position de la courbe par rapport à la tangente pour proche de est donnée par le signe , c'est-à-dire le signe de . Il y a 3 cas possibles. Si ce signe est positif alors la courbe est au-dessus de la tangente. Applications des développements V Exemple Note Proposiotion position de la courbe par rapport à la tangente Équation d'une courbe par rapport a sa tangente 10 1. 2. 3. Si ce signe est négatif alors la courbe est en dessous de la tangente. Si ce signe change (lorsque l'on passe de à ) alors la courbe traverse la tangente au point d'abscisse . C'est un point d'inflexion. Note : Si est un point d'inflexion alors . (La réciproque est fausse.) Soit . 1. Déterminons la tangente en 1 du graphe de et précisons la position du graphe par rapport à la tangente. Comme nous connaissons le DL au voisinage de 0, alors posons , ce qui implique que et quand On a ,or , en faisant la division de X - \frac{X^2}{2}+\frac{X^3}{3} par 1+2X+X^2 suivant les puissances croissantes nous obtenons . En remplaçant par , on obtient Donc la tangente en est et le graphe de est en dessous de la tangente car f (x)- y est du signe de qui est négatif autour de . Exemple Quiz 11 Exercice Exercice Exercice Quiz VI Trouvez la limite  1  0  1/2 [ ] solution n°4 * [ ] p.12 Trouvez la limite  0  1  1/2 [ ] solution n°5 * [ ] p.12 Soit , calculez l'équation de la tangente en et déterminez sa position relative à au voisinage de .     est au dessus de la tangente  est en dessous de la tangente [ ] solution n°6 * [ ] p.13 Solutions des exercices 12 Exercice p. 11 > Solution n°4 Exercice p. 8 > Solution n°3 Exercice p. 5 > Solution n°2 Exercice p. 5 > Solution n°1 On choisit . La fonction dérivée seconde de est une fonction constante  Vrai  Faux En effet La formule de Taylor à l'ordre 4 de en 0 est    Si admet un développement limité à l'ordre un en , elle est dérivable en .  Vrai  Faux Trouvez la limite  1  0  1/2 et , donc la partie polynomiale de d'où Solutions des exercices Solutions des exercices 13 Exercice p. 11 > Solution n°6 Exercice p. 11 > Solution n°5 Trouvez la limite  0  1  1/2 Posons ce qui implique que et quand nous avons Le DL de et , la partie polynomiale de d'où Soit , calculez l'équation de la tangente en et déterminez sa position relative à au voisinage de .     est au dessus de la tangente  est en dessous de la tangente et , donc , d'où l'équation de la tangente en est et la courbe est au dessus de la tangente Bibliographie 14 [Exo7] Cours de mathématiques première année [François Liret] Maths en pratique à l'usage des étudiants Cours et uploads/Management/ developpement-limites-edja-kouame.pdf