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Analyse et analyse numérique © LAVOISIER, 2005 LAVOISIER 11, rue Lavoisier 7500

Analyse et analyse numérique © LAVOISIER, 2005 LAVOISIER 11, rue Lavoisier 75008 Paris Serveur web : www.hermes-science.com 2-7462-0993-4 ISBN Général 2-7462-0995-0 ISBN Volume 2 Tous les noms de sociétés ou de produits cités dans cet ouvrage sont utilisés à des fins d’identification et sont des marques de leurs détenteurs respectifs. Le Code de la propriété intellectuelle n'autorisant, aux termes de l'article L. 122-5, d'une part, que les "copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective" et, d'autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d'exemple et d'illustration, "toute représentation ou reproduction intégrale, ou partielle, faite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite" (article L. 122-4). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles L. 335-2 et suivants du Code de la propriété intellectuelle. Analyse et analyse numérique rappel de cours et exercices corrigés Luc Jolivet Rabah Labbas APPLICATIONS MATHÉMATIQUES AVEC MATLAB® Table des matières Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 PREMIÈRE PARTIE. ANALYSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Chapitre 1. Suites réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1. Généralités sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1.1. DéÞnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1.2. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2. Limite d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.1. Approche intuitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.2. Cas de limite Þnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.3. Cas de limite inÞnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3. Propriétés des limites de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.1. Cas de limites Þnies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.2. Cas de limites inÞnies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.3. Calculs de limites avec Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4. Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.5. Suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.5.1. DéÞnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.5.2. Etude complète d’un exemple modèle . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.6. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.6.1. Limite d’une suite et majorations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.6.2. Etude d’une suite récurrente (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.6.3. Etude d’une suite récurrente (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.7. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Chapitre 2. Fonctions numériques d’une variable réelle . . . . . . . . . . . 37 2.1. Rappels généraux sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.1. Majoration d’une fonction et extrema . . . . . . . . . . . . . . . . 37 6 Mathématiques avec Matlab 2.1.2. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.1.3. Périodicité, parité et imparité d’une fonction . . . . . . . . . . . . 39 2.1.4. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.5. Fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.1.6. Fonctions injectives, surjectives, bijectives . . . . . . . . . . . . . 41 2.2. Limite d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2.1. DéÞnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2.2. Résultat fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2.3. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3. Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3.1. DéÞnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3.2. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.3.3. Résultats généraux sur la continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.4. Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.4.1. DéÞnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.4.2. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.4.3. Interprétation géométrique . . . . . . uploads/Management/ luc-jolivet-rabah-labbas-analyse-et-analyse-num.pdf