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Fiabilité et Maintenance Industrielle QUA192 Semaine 3 (Cours 5 & 6) Estimation

Fiabilité et Maintenance Industrielle QUA192 Semaine 3 (Cours 5 & 6) Estimation de la fiabilité Département de Génie Mécanique Roger SERRA Semaine 2: Estimation de la fiabilité des équipements (Cours 3 & 4) • La loi exponentielle • Estimation du taux de défaillance et de la durée de vie des équipements • Observation en exploitation Données complètes Données incomplètes Tronquées en temps Tronquées en défaillances Taux de défaillance maximum Composants réparables Observées par intervalles de temps Modèle de défaillance nulle • Applications de la loi de Weibull ETE2013 – QUA192 par Prof. R. SERRA 2 Semaine 3: Estimation et amélioration de la fiabilité des équipements (Cours 5 & 6) • Méthodes graphiques pour déterminer la loi des modèles : Loi exponentielle Tracé de hasard Loi de Weibull Tracé de hasard Fonction de répartition • Amélioration de la fiabilité par les redondances Décomposition d’un système Configurations en : Série Parallèle Mixte • Correction TP1 & INTRA ETE2013 – QUA192 par Prof. R. SERRA 3 Objectifs : Calcul de la fonction cumulative de hasard (évolution du taux de défaillance) Calcul du pourcentage cumulatif de défaillances (fonction de répartition) L'application de l'une de ces fonctions sur des papiers graphiques à échelle fonctionnelle, appropriés à chaque loi donne une droite si la loi est la bonne. Estimation de la fiabilité – Méthodes graphiques ) (x f a x = 1.0 ) (x F ) ( a x P ≤ ETE2013 – QUA192 par Prof. R. SERRA 4 Méthode pouvant être utilisée quelque soit le type de données : 1. Classer les échantillons par ordre croissant de durée de vie (TBF). 2. Attribuer des rangs k à chaque échantillon correspondant à ces TBF dans l'ordre inverse. 3. Calculer la valeur de hasard = 100/k pour chaque rang k des éléments défaillants seulement 4. Calculer les valeurs de hasard cumulatif. 5. Si l’essai a été arrêté pour certains échantillons, mais qu’ils n’ont pas failli, on tiendra compte de leur rang, mais pas du hasard cumulatif dans le calcul. Estimation de la fiabilité – Loi exponentielle ETE2013 – QUA192 par Prof. R. SERRA 5 Tracer ces valeurs de hasard cumulatif en fonction des TBF sur un papier de loi exponentielle.(On utilise un papier Team 13-011) Si on obtient une droite, la loi est exponentielle. Le MTTF représente le temps correspondant à un hasard cumulatif de 100% (ou à un pourcentage % de défaillance de 63.2%). L'échelle de pourcentage cumulatif de défaillance peut être utilisée pour déterminer le temps avant qu'un certain % de la population ne fasse défaut. Estimation de la fiabilité – Loi exponentielle ETE2013 – QUA192 par Prof. R. SERRA 6 Estimation de la fiabilité – Loi exponentielle ETE2013 – QUA192 par Prof. R. SERRA 7 Si une droite ne peut être interpolée sur le graphe exponentiel à partir des données, alors, il faut considérer une autre loi appropriée. Estimation de la fiabilité ETE2013 – QUA192 par Prof. R. SERRA 8 Exercice 3.1 Huit (8) circuits imprimés sont mis en test et on note leur durée de bon fonctionnement (TBF), soit : 148 h, 200 h, 288 h, 890 h, 50 h, 100 h, 400 h, 550 h. Vérifiez que la fonction de défaillance répond à une loi exponentielle et calculez la durée de vie moyenne. Réponse: La loi est exponentielle, MTTF = 320 heures. ETE2013 – QUA192 par Prof. R. SERRA 9 Exercice 3.2 L’historique de 20 joints en opération est examiné afin de déterminer leur durée de vie. On a remarqué les fuites sur 13 joints après les durées d’utilisation suivantes ( en mois) : 32, 39, 58, 66, 70, 75, 88, 106, 109, 130, 155, 185, 210. Les 7 joints restants n’ont pas montré de défaillances et les observations ont été stoppées, pour raisons diverses, après les temps d’utilisation suivants (en mois) : 65, 75, 88, 94, 102, 110, 150 mois. Aucun bris n’a été constaté sur ceux-ci. Vérifiez si la distribution est exponentielle. Réponse: La loi n’est pas exponentielle. ETE2013 – QUA192 par Prof. R. SERRA 10 Estimation de la fiabilité – Loi de Weibull ETE2013 – QUA192 par Prof. R. SERRA La technique du traçage est la même que pour la loi exponentielle. β est la pente de la courbe. On obtient sa valeur en faisant passer une droite par le point de référence parallèle à celle obtenue. On lit sa valeur sur l'échelle de forme. On peut tirer du graphe d'autres informations telles que le % de défectuosité après un certain temps (établissement des garanties). θ correspond au temps pour 63.2% de défaillances ou 100% de hasard cumulatif. Attention, ce n'est pas le MTBF ici ! 11 β β Point de référence θ ETE2013 – QUA192 par Prof. R. SERRA 12 Exercice 3.3 En utilisant les données de l’exemple précédent, Calculez les paramètres en utilisant un modèle Weibull Déterminez le pourcentage de défectuosités qui seront apparues au terme de la garantie qui est de 45 mois. Réponses: β = 2.12, θ = 130 mois; 10% de défectuosités au bout de 45 mois. ETE2013 – QUA192 par Prof. R. SERRA 13 Calcul de MTBF suivant une loi de Weilbull Il se calcule en utilisant une loi Gamma. où la loi Gamma s’écrit : Avec Γ(x) est une loi Gamma définie sur le graphe suivant. ( ) 1 1 E t MTBF θ β   = = × Γ +     ( ) 1 0 , 0 x t x t e dt x ∞ − − Γ = > ∫ ETE2013 – QUA192 par Prof. R. SERRA 14 Loi Gamma y = 0,0729x6 - 1,1593x5 + 7,5457x4 - 25,255x3 + 45,769x2 - 42,388x + 16,486 0,1 1 10 100 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 X Gamma(X) Exercice 3.4 ; En considérant les résultats de l’exercice précédent, calculez l ’espérance de vie. Réponse: MTBF = 115 mois. ETE2013 – QUA192 par Prof. R. SERRA Calcul de MTBF suivant une loi de Weilbull 15 On trouve les papiers graphiques sur le site www.weibull.com Les données sont rangées par ordre croissant de durée de vie. La fonction de répartition de défaillances est estimée soit par la méthode des rangs médians (échantillons de petites tailles) par la méthodes des rangs moyens (plus couramment utilisée). Méthode des rangs médians: F(i)= 100 (i-0.3)/(n+0.4) en % où n est le nombre d ’échantillons considérés et i le rang considéré. Méthode des rangs moyens F(i) = 100 i/(n+1) en % Calcul de MTBF suivant une loi de Weilbull ETE2013 – QUA192 par Prof. R. SERRA 16 On observe 9 roulements à billes durant leur fonctionnement habituel pour tester une nouvelle série. On relève des défaillances après les durées de fonctionnement suivantes (en heures) : 800, 300, 400, 200, 700, 1300, 1000, 500 et 600. a) Déterminez la loi qui régit ces données, en utilisant les méthodes de fonction hasard, de fonction de répartition par rangs moyens, par rangs médians. b) Calculez le MTBF des roulements c) Calculez la fiabilité des roulements au bout de 600 h de fonctionnement. Réponses: β = 2, θ = 700 heures, MTBF = 620 h, R(600) = 45% Exercice 3.5 ETE2013 – QUA192 par Prof. R. SERRA 17 Exercice 3.5 (suite) ETE2013 – QUA192 par Prof. R. SERRA 18 Estimation de la fiabilité - Facteur de position positif ν représente l’instant initial pour lequel F(t) = 0. Si ν est différent de 0, les données ne se linéarisent plus dans les graphiques de Weibull. Lorsque ν est positif, on identifie facilement celui-ci d’après l’asymptote temporelle. ETE2013 – QUA192 par Prof. R. SERRA 19 Estimation de la fiabilité - Facteur de position positif Lorsque on a identifié ν, on fait le changement de variable, pour linéariser : t ’ = t - ν On peut répéter l’opération 2 à 3 fois, jusqu’à obtention d’une droite. Le temps de bon fonctionnement doit être révisé : Si cela ne fonctionne pas, cela signifie que la loi ne répond pas à Weibull, ou bien qu’on a un mélange de lois. ( ) 1 1 E t MTBF θ ν β   = = ×Γ + +     ETE2013 – QUA192 par Prof. R. SERRA 20 Estimation de la fiabilité - ν positif β ν ETE2013 – QUA192 par Prof. R. SERRA 21 Exercice 3.6 Une usine de rechapage de pneus fait le suivi, à l’aide de contrôle de qualité chez ses clients, de 18 pneus en fonction du seuil de taux d’usure prédéterminé. Les seuils d’usure ont été obtenus après les durées d’utilisation suivants (en heures): 45200, 3800, 30000, 3500, 6000, 7000, 8000, 6500, 10000, 17000, 12000, 14000, 11000, 9000, 7500, 5600, 4300 et 4700. Déterminez le MTTF des pneus et la fiabilité correspondante. Réponses: ν = 2000 h, β = 1.5, θ = 6000h, MTTF = 7400 h, R(MTTF) = 43%. ETE2013 – QUA192 par Prof. R. SERRA 22 Exercice 3.6 (suite) ETE2013 – QUA192 par Prof. R. SERRA 23 Estimation de la fiabilité - ν négatif • Lorsque ν est négatif, uploads/Management/ qua192-semaine-3-rserra.pdf