Série N°4 1. Corrigé Exercice 1 4X5 −2X4 + 5X3 + 4X + 2 = 4X3 X2 + 1 −2X4 +
Série N°4 1. Corrigé Exercice 1 4X5 −2X4 + 5X3 + 4X + 2 = 4X3 X2 + 1 −2X4 + 2X3 + 4X + 2 = 4X3 X2 + 1 + (−2X2) X2 + 1 + 2X3 + 2X2 + 4X + 2 = 4X3 X2 + 1 + (−2X2) X2 + 1 + (2X) X2 + 1 + 2X2 + 2X + 2 = 4X3 X2 + 1 + (−2X2) X2 + 1 + (2X) X2 + 1 + 2 X2 + 1 + 2X = 4X3 −2X2 + 2X + 2 X2 + 1 + 2X 4X5 −2X4 + 5X3 −X2 = X2 4X3 −2X2 + X + 2 + 4X3 −3X2 = X2 4X3 −2X2 + X + 2 + 4X3 −2X2 + X + 2 −X2 −X −2 = X2 + 1 4X3 −2X2 + X + 2 −X2 −X −2. X4 + jX3 −jX2 + X + 1 = X2 X2 −jX + 1 + 2jX3 + j2X2 + X + 1 = X2 X2 −jX + 1 + 2jX X2 −jX + 1 −j2X2 + (1 −2j) X + 1 = X2 X2 −jX + 1 + 2jX X2 −jX + 1 −j2 X2 −jX + 1 −2jX + 1 = X2 + 2jX −j2 X2 −jX + 1 −2jX + 1 2. Corrigé de l’exercice 2 La division suivant les puissances croissante à l’ordre k d’un polynôme A = a0 + a1X + ... + anXn par un polynôme B = b0 + b1X + ... + bmXm, consiste à trouver deux polynômes E et R tels que A = BE + Xn+1R (X) avec deg E ≤k. (1) Division suivant les puissances croissantes et à l’ordre 4 de 3 + X −2X3par 3 + X, 1 2 Ce qui donne 3 + X −2X2 = (3 + X) 1 −2 3X −4 9X2 + 4 27X3 −4 81X3 + 4 81X5 (1) Division suivant les puissances croissantes et à l’ordre 4 de 1 −2X + X4par −1 + 3X + X2, Ce qui donne 1 −2X + X4 = −1 + 3X + X2 −1 −X −4X2 −13X3 + X4 (44 + 13X) . 3. Corrigé Exercice 3 Soit α = p q ∈Q, avec p gcd (p, q) 1, une racine du polynôme P = a0 + a1X + · · · + anXn ∈Z [X], ai ∈Z, alors a0 + a1α + · · · + an−1αn−1 + anαn = 0 (1) comme α = p q ∈Q, on aura a0 + a1 p q + a2 p q 2 + · · · + an−1 p q n−1 + an p q n = 0 (1) 3 En multipliant l’équation (1) par qn, on obtient a0qn + a1pqn−1 + · · · + an−1pn−1q + anpn = 0 d’où l’on tire les identités suivantes a0qn = −p a1qn−1 + · · · + an−1pn−2q + anpn−1 (2) anpn = −q a0qn−1 + a1pqn−2 + · · · + an−1pn−1q (3) Dans l’équation (2), on a p divise a0qn, comme p gcd (p, q) = 1 ⇒p divise a0. Dans l’équation (3), on a q divise anpn, comme p gcd (p, q) = 1 ⇒q divise an. (2) Si an = 1, alors q = ±1, ce qui entraine que α ∈Z. (3) Comme P p q = 0, alors ∀m ∈Z on a P (m) = P (m) −P p q , ce qui donne P (m) = (a0 + a1m + · · · + anmn) − a0 + a1 p q + · · · + an p q n ce qui donne P (m) = a1 m −p q + a2 m2 −p2 q2 + · · · + an mn −pn qn En multipliant par qn, on obtient qnP (m) = a1qn−1 (mq −p) + a2qn−2 m2q2 −p2 + · · · + an (mnqn −pn) (2) Sachant que mkqk −pk = (mq)k −qk = (mq −p) (mq)k−1 + (mq)k−2p + · · · + (mq)pk−2 + pk−1 = (mq −p) " k X i=1 (mq)k−i pi−1 # l’équation (2) devient qnP(m) = (mq −p) " a1qn−1 + a2qn−2 (mq + p) + · · · + an n X i=1 (mq)n−i pi−1 !# On a ainsi une équation dans Z, ce qui montre que mq−p divise qnP (m) . Comme q est premier avec mq −p, alors qn est aussi premier avec mq −p ce qui entraine que mq −p divise P (m) dans Z, et donc p −mq divise P (m) (4) Etablissons la décomposition des polynômes suivants (a) Soit le polynôme P = X3 −X −1. Comme P est un polynôme de degré 3 sur Q, alors toute décomposition de P en produit de facteurs contiendrait un facteur de degré 1, ce qui entraine que P admet une racine α dans Q. Or, le polynôme P est unitaire, an = 1, alors α ∈Z avec α divisant 1. Ainsi, α = 1 ou bien α = −1, ce qui est impossible puisque P (−1) = −1 = P (1) ̸= 0. Par conséquent, le polynôme P = X3 −X −1 est irréductible sur Q (b) Considérons le polynôme P = 3X3 −2X2 −2X −5, qui est un polynôme de degré 3. Comme dans l’exemple précédent, si P se factorise, P serait divisible par un facteur de degré 1 et donc P admettrait sur Q une racine α dans Q. Soit α = p q ∈Q une racine de P, alors p diviserait 5 et q diviserait 3, ce qui donne 4 p = ±1 ou ± 5 et q = ±1 ou ± 3. Notons que si q = ±1, alors α = ±1 ou ± 5 et P (−1) = −8 ̸= 0 ̸= −6 = P (1) , P (−5) = −420 ̸= 0 ̸= 310 = P(5) ce qui prouve que P n’admet pas de racine dans Z. Par suite, les valeurs possibles de α sont α = ±1 3 ou ± 5 3 Par la question 3, on a p−mq divise P (m) ∀m ∈Z. Ainsi, pour m = 1, on aura p−q divise P (1) = −6. Ceci est impossible puisque on a p −q = ±4 ou ± 8 . Par conséquent, le polynôme P = 3X3 −2X3 −2X −5 est irréductible sur Q. 4. Corrigé Exercice 4 (1) Soit le polynôme P = 3X3 + 2X2 −5X + 6 On a P (−2) = 0, alors (X + 2) | P, ce qui donne P = (X + 2) 3X2 −4X + 3 où le polynôme Q = 3X2 −4X + 3 est irréductible car son discriminant est égal à −20. (2) Le polynôme P = 8X3 + 6X2 −5X −3 a pour racine α = −1, puisque P (−1) = 0. Ainsi, le polynôme P est divisible par X + 1 et on a P = (X + 1) 8X2 −2X −3 et d’autre part, comme le discrminant du polynôme Q = 8X2 −2X −3 est égal à 100 = 102, ce qui entraine la factorisation P = (X + 1) (2X + 1) (4X −3) ce qui montre que la seule racine dans Z de P est α = −1. (3) Ona α = 1 est racine du polynôme P = 4X3 −4X2 −X + 1, alors (X −1) divise P et on a P = (X + 1) 4X2 −1 = (X −1) (2X −1) (2X + 1) ce qui montre que α = 1 est l’unique racine dans Z du polynôme P. 5. Corrigé Exercice 6 (1) Soient x1, x2, x3 et x4 les racines de X4 + pX2 + qX + r, alors X4 + pX2 + qX + r = (X −x1) (X −x2) (X −x3) (X −x4) = X4 −(x1 + x2 + x3 + x4) X3 + (x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4) X2 −(x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 + x2x3x4) X + (x1x2x3x4) ce qui donne x1 + x2 + x3 + x4 = 0 x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 = p x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 + x2x3x4 = −q x1x2x3x4 = r Ainsi, on aura 1 x1 + 1 x2 + 1 x3 + 1 x4 = x2x3x4 + x1x3x4 + x1x2x4 + x1x2x3 x1x2x3x4 = −q r 5 et 1 x2 1 + 1 x2 2 + 1 x2 3 + 1 x2 4 = x2 2x2 3x2 4 + x2 1x2 3x2 4 + x2 1x2 2x2 4 + x2 1x2 2x2 3 (x1x2x3x4)2 = (x2x3x4 + x1x3x4 + x1x2x4 + x1x2x3)2 (x1x2x3x4)2 −2 (x2x3x4x1x3x4 + x2x3x4x1x2x4 + x2x3x4x1x2x3 + x1x3x4x1x2x4) (x1x2x3x4)2 −2(x1x3x4x1x2x3 + x1x2x4x1x2x3) (x1x2x3x4)2 = q2 −2 (x1x2x3x4) uploads/Management/ serie-polynomes-corrige.pdf
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- Publié le Jan 25, 2022
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