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TP1 Vitesse et accélération d’un point Objectifs : - Exploiter une chronophotog

TP1 Vitesse et accélération d’un point Objectifs : - Exploiter une chronophotographie afin de tracer et caractériser les vecteurs vitesse et accélération ; - Représenter, à l’aide d’un langage de programmation, le vecteur d’un point au cours d’un mouvement circulaire. La centrifugeuse CF-7 à la cité des étoiles en Russie (bras rotatif de rayon R = 7,00m) Lors d'un voyage dans l'espace, les astronautes doivent pouvoir supporter des conditions extrêmes, notamment au décollage et à l'atterrissage : durant ces phases de vol, le corps humain est soumis à une forte accélération (« g ») pouvant mener à un évanouissement. Pour être en mesure de les supporter, les astronautes sont préalablement soumis à un entraînement intensif dans des « centrifugeuses » (ci-contre) qui simulent ces conditions extrêmes. DOCUMENTS MIS A DISPOSITION : DOC. 1 : Le vecteur vitesse La vitesse instantanée, notée v2, en un point M2, à la date t2 (ci-dessus) est approximativement égale à la vitesse moyenne au point M2 entre les dates t1 et t3 à condition que t1 et t3 soient très rapprochées : 2 3 2 3 2 M M v t t   Le vecteur est un outil mathématique permettant de représenter une grandeur vectorielle et possédant quatre caractéristiques : une direction (la droite qui le supporte), un sens (indiqué par une flèche), une intensité (appelée norme en mathématiques, elle est proportionnelle à la longueur de la flèche) et un point d’application (point de départ de la flèche). Les caractéristiques du vecteur vitesse, noté ⃗ v, seront donc : - Point d’application : point où l’on mesure la vitesse ; - Direction : la tangente à la trajectoire au point considéré ; - Sens : celui chronologique du mouvement ; - Intensité : proportionnelle à la valeur v de la vitesse instantanée au point considéré, elle suppose une échelle pour être représentée. On obtient approximativement le vecteur vitesse par : OM( ) OM( ) v( ) 2 t t t t t t           soit OM( ) v( ) 2 t t t        Voir avec le professeur pour la construction. DOC. 2 : Le vecteur accélération L’accélération moyenne amoy d’un mobile est égale au rapport de sa variation de vitesse par la durée correspondante. L’accélération en M2 (voir DOC.1), à la date t2 sera : 1 3 2 2 3 2 3 2 2 v vitesse (en m.s ) v( ) v( ) a( ) durée (en s) a accélération (en m.s ) t t t t t t t             L’accélération instantanée est l’accélération mesurée à une date t donnée, c’est à dire à un instant précis. Elle correspond à celle mesurée par un accéléromètre. Pour la déterminer, on considère très souvent qu’il s’agit d’une accélération moyenne, mais pendant une durée très courte, c’est-à-dire un intervalle de temps entre deux instants encadrant la date qui nous intéresse : la durée étant très courte, la variation de vitesse sera très petite également et le rapport des deux sera une valeur finie. Ainsi l’accélération instantanée, notée a2, au point M2, correspond à l’accélération moyenne entre le point M2, où le système avait une vitesse instantanée ⃗ v2, et le point M3, où le système avait une vitesse instantanée ⃗ v3, pendant un petit intervalle de temps Δt = t3 – t2. Les caractéristiques du vecteur accélération, noté ⃗ a, seront donc : - Point d’application : point où l’on détermine l’accélération ; - Direction : celle du vecteur variation de vitesse ⃗ Δ v; - Sens : celui du vecteur variation de vitesse ⃗ Δ v; - Intensité : proportionnelle à la valeur a de l’accélération instantanée au point considéré, elle suppose une échelle pour être représentée. DOC. 3 : Représentation du vecteur accélération Pour construire le vecteur accélération en un point Mi d’une trajectoire :  Représenter le vecteur vitesse au point Mi-1 et au point Mi+1, en laissant la trace des mesures et des calculs sur la feuille.  Ces vecteurs seront notés 1 vi  et 1 vi  .  Construire la variation du vecteur vitesse v( ) t   au point Mi, noté vi   . On obtient approximativement le vecteur accélération par : v( ) v( ) a( ) 2 t t t t t t         soit v( ) a( ) 2 t t t      Pour cela :  Mesurer la norme vi de l variation du vecteur vitesse i v   construite au point Mi.  Déterminer la norme du vecteur accélération au point Mi en calculant : v a 2 i i t     Tracer le vecteur accélération au point Mi en utilisant le fait que les vecteurs ai  et vi   ont la même direction et le même sens (en utilisant une échelle adaptée, à choisir). Mi + 1 Mi Mi – 1 1. Rappels En vous aidant de vos connaissances antérieures, définir les termes suivants : Référentiel Système Trajectoire Centre de gravité 2. Étude d’une chronophotographie Sur les enregistrements fournis en annexe, sont présentés le mouvement de plusieurs points avec les caractéristiques suivantes : - Les enregistrements sont à l’échelle ; - La durée entre deux positions successives est Δt = 100 ms. Q1. Sur chaque enregistrement, repérer les différentes positions M, du mobile au cours de son déplacement. Q2. Dans quel référentiel les enregistrements sont-ils réalisés ? Q3. Tracer les trajectoires de chaque mouvement. Caractériser leur nature. Justifier. Q4. Représenter le vecteur accélération aux points M4 et M8 de l’enregistrement 1. Comparer les normes et et les directions des deux vecteurs obtenus. Q5. Représenter les vecteurs accélération : - Au point M3 et au point M6 de l’enregistrement 2 ; - Au point M3 et M7 de l’enregistrement 3 ; - Au point M5 et M8 de l’enregistrement 4. Q6. Caractériser le vecteur accélération pour chaque mouvement étudié. Compléter l’étude de la nature des mouvements (question Q3) en donnant les caractéristiques complètes pour chaque mouvement (dans un tableau par exemple). 3. Le mouvement circulaire En cinématique, le repère de Frenet (ci-dessous) est un outil d'étude du comportement local des courbes. Il s'agit d'un repère local associé à un point A, décrivant une courbe (C). Question s Dans le cas d’un mouvement circulaire, à chaque instant, l’accélération peut se décomposer en deux vecteurs : a a a n       - an  : accélération normale, centripète ; - a  : accélération tangentielle, tangente à la trajectoire et orientée dans le sens du mouvement. Dans le repère local (A ; n u  , τ u  ), est appelé repère de Frenet, on montre que les coordonnées des vecteurs vitesse et accélération sont : v 0 v v v n        2 v a r a dv a d n t            (r = rayon de la trajectoire, en m) Nous allons, dans cette partie, étudier la situation présentée en début d’activité : la centrifugeuse, en faisant l’étude de ce bras rotatif. POSITIONS DE LA CABINE DE LA CENTRIFUGEUSE Pour obtenir une accélération de « 4g » (g = 9,81 m.s–2), la cabine de la centrifugeuse est mise en rotation. Protocole expérimental : On enregistre alors ses coordonnées toutes les t = 200 ms. La norme du vecteur vitesse de la cabine augmente pendant un demi-tour : - lorsque t  [0 s ; 2,65 s] : v(t) = k  t (avec k = 6,26 m.s–2); - lorsque t  [2,65 s ; + ] : v(t) = v0 = 16,6 m.s–1. Les positions du centre de la cabine (vue de dessus) au cours du temps, lors du premier tour, sont données ci- dessous : Question s Exécuter le programme « Centrifugeuse.py » en l’ouvrant avec le logiciel Thonny (voir avec le professeur). Q7. Caractériser les deux phases du mouvement. Quant la cabine a-t-elle une accélération non nulle ? Q8. En utilisant les documents, modifier le programme afin de lui faire calculer les coordonnées des vecteurs vitesse et accélération. Le tracé des vecteurs modifie-t-il les réponses de la question précédente ? Exécuter le programme « Centrifugeuse_frenet.py » : ce programme trace les coordonnées an et a du vecteur accélération dans le repère de Frenet., obtenues à partir des coordonnées calculées ax et ay. Q9. La coordonnée a est au départ positive. Justifier cette observation à partir de l’expression de l’accélération et de la connaissance de la nature du mouvement de la cabine. Q10. Comment expliquer le fait que a devienne nulle ensuite ? Q11. Sur une feuille, dessiner l’allure qu’aurait l’évolution de a lors du ralentissement de la cabine. Q12. L’accélération, obtenue une fois la cabine lancée, a-t-elle la valeur attendue : « 4g uploads/Management/ tp-n01-vitesse-et-acceleration.pdf