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28/02/21 28/02/21 Groupe TT6 - KikiTeam Groupe TT6 - KikiTeam 1 1 ACP ACP A Ana

28/02/21 28/02/21 Groupe TT6 - KikiTeam Groupe TT6 - KikiTeam 1 1 ACP ACP A Analyse en nalyse en C Composantes omposantes P Principales rincipales 28/02/21 28/02/21 Groupe TT6 - KikiTeam Groupe TT6 - KikiTeam 2 2 Description multidimensionnelle de Description multidimensionnelle de données numériques données numériques Dans la plupart des applications, on travaille non pas Dans la plupart des applications, on travaille non pas avec une seule variable, mais avec un nombre de avec une seule variable, mais avec un nombre de variable souvent élevé. variable souvent élevé. L’étude séparée de chacune de ces variables n’est L’étude séparée de chacune de ces variables n’est pas suffisante. pas suffisante. ->Il faut donc analyser les données en tenant compte de ->Il faut donc analyser les données en tenant compte de leur caractère multidimensionnel leur caractère multidimensionnel 28/02/21 28/02/21 Groupe TT6 - KikiTeam Groupe TT6 - KikiTeam 3 3 Les méthodes multifactorielles Les méthodes multifactorielles d'Analyse des Données d'Analyse des Données ACP ACP : Analyse en Composantes Principales, pour les tableaux de : Analyse en Composantes Principales, pour les tableaux de variables quantitatives. variables quantitatives. AFTD AFTD : Analyse Factorielle d'un Tableau de Distances, pour les : Analyse Factorielle d'un Tableau de Distances, pour les tableaux de distances. tableaux de distances. AFC AFC : Analyse Factorielle des Correspondances, pour les tableaux : Analyse Factorielle des Correspondances, pour les tableaux de contingence. de contingence. ACM ACM : Analyse des Correspondances Multiples, pour les tableaux : Analyse des Correspondances Multiples, pour les tableaux de variables qualitatives. de variables qualitatives. STATIS STATIS : Structuration des Tableaux A Trois Indices de la : Structuration des Tableaux A Trois Indices de la Statistique Statistique AFM AFM : Analyse Factorielle Multiple : Analyse Factorielle Multiple DACP DACP : Double Analyse en Composante Principale : Double Analyse en Composante Principale La liste n'est pas exhaustive. La liste n'est pas exhaustive. 28/02/21 28/02/21 Groupe TT6 - KikiTeam Groupe TT6 - KikiTeam 4 4 Présentation générale de l'ACP Présentation générale de l'ACP L'étude séparée de chacune de ces variables donne L'étude séparée de chacune de ces variables donne quelques informations mais est insuffisante car elle laisse quelques informations mais est insuffisante car elle laisse de côté les liaisons entre elles, ce qui est pourtant souvent de côté les liaisons entre elles, ce qui est pourtant souvent ce que l'on veut étudier. ce que l'on veut étudier. C'est le rôle de la statistique multifactorielle, que C'est le rôle de la statistique multifactorielle, que d'analyser les données dans leur ensemble, en prenant en d'analyser les données dans leur ensemble, en prenant en compte toutes les variables. compte toutes les variables. L' L'Analyse en Composantes Principales Analyse en Composantes Principales est alors une est alors une bonne méthode pour étudier les données bonne méthode pour étudier les données multidimensionnelles, lorsque toutes les variables multidimensionnelles, lorsque toutes les variables observées sont de type numérique, de préférence dans observées sont de type numérique, de préférence dans les mêmes unités, et que l'on veut voir s’il y a des liens les mêmes unités, et que l'on veut voir s’il y a des liens entre ces variables. entre ces variables. 28/02/21 28/02/21 Groupe TT6 - KikiTeam Groupe TT6 - KikiTeam 5 5 Le principe d’ACP Le principe d’ACP La mise en oeuvre mathématique de l'ACP peut être La mise en oeuvre mathématique de l'ACP peut être divisée en 6 étapes principales : divisée en 6 étapes principales : 1. 1. Préparer les données pour le traitement Préparer les données pour le traitement 2. Calculer la 2. Calculer la matrice des coefficients de matrice des coefficients de corrélations corrélations des variables des variables 3. Extraire les 3. Extraire les valeurs et vecteurs propres valeurs et vecteurs propres de cette de cette matrice matrice 4. 4. Classer les vecteurs propres Classer les vecteurs propres dans l'ordre dans l'ordre décroissant des valeurs propres associées décroissant des valeurs propres associées 5. Calculer la matrice des 5. Calculer la matrice des composantes principales composantes principales 28/02/21 28/02/21 Groupe TT6 - KikiTeam Groupe TT6 - KikiTeam 6 6 Le principe d’ACP - Le principe d’ACP - 1 - Préparer les données pour le traitement Les observations de p variables sur n individus sont rassemblées dans uns matrice X à n lignes et p colonnes. 28/02/21 28/02/21 Groupe TT6 - KikiTeam Groupe TT6 - KikiTeam 7 7 Le principe d’ACP Le principe d’ACP Le problème est que si on analyse directement la Le problème est que si on analyse directement la matrice X, les résultats seraient faussés par les valeurs matrice X, les résultats seraient faussés par les valeurs relatives des variables (Par exemple si les valeurs ont relatives des variables (Par exemple si les valeurs ont été mesurées dans des unités différentes). Préparer les été mesurées dans des unités différentes). Préparer les données pour le traitement consiste donc à transformer données pour le traitement consiste donc à transformer le tableau de données pour réduire ces effets. le tableau de données pour réduire ces effets. On peut alors travailler sur une version centrée-réduite On peut alors travailler sur une version centrée-réduite Xcr Xcr de la matrice de la matrice X X. . Pour centrer la matrice Pour centrer la matrice X X, on soustrait à chacune des , on soustrait à chacune des valeurs la moyenne de sa variable. valeurs la moyenne de sa variable. Pour réduire la matrice centrée, on divise chacune des Pour réduire la matrice centrée, on divise chacune des valeurs par l'écart-type de sa variable. valeurs par l'écart-type de sa variable. 28/02/21 28/02/21 Groupe TT6 - KikiTeam Groupe TT6 - KikiTeam 8 8 Le principe d’ACP Le principe d’ACP 5. Matrice des composantes principales 5. Matrice des composantes principales La matrice appelée matrice des composantes principales La matrice appelée matrice des composantes principales est celle qui contient les coordonnées des individus dans est celle qui contient les coordonnées des individus dans l'espace formé par les composantes principales. l'espace formé par les composantes principales. Soit Soit CP CP la matrice des composantes principales. On a la matrice des composantes principales. On a alors : alors : CP = Xrc . u CP = Xrc . u 28/02/21 28/02/21 Groupe TT6 - KikiTeam Groupe TT6 - KikiTeam 9 9 ACP - Avantages ACP - Avantages Simplicité mathématique : Sur le plan mathématique, l'ACP est donc Simplicité mathématique : Sur le plan mathématique, l'ACP est donc une méthode simple à mettre en oeuvre. Les seuls véritables outils une méthode simple à mettre en oeuvre. Les seuls véritables outils mathématiques utilisés dans l'ACP sont le calcul des mathématiques utilisés dans l'ACP sont le calcul des valeurs/vecteurs propres d'une matrice, et les changements de valeurs/vecteurs propres d'une matrice, et les changements de base. base. Simplicité des résultats : Grâce aux graphiques qu'elle fournit, l‘ACP Simplicité des résultats : Grâce aux graphiques qu'elle fournit, l‘ACP permet d'appréhender une grande partie de ses résultats d'un permet d'appréhender une grande partie de ses résultats d'un simple coup d'oeil. simple coup d'oeil. Puissance : L'ACP a beau être simple. Elle offre, en quelques Puissance : L'ACP a beau être simple. Elle offre, en quelques opérations seulement, un résumé et une vue complète des relations opérations seulement, un résumé et une vue complète des relations existant entre les variables quantitatives d'une population d'étude. existant entre les variables quantitatives d'une population d'étude. Flexibilité : L'ACP est une méthode très souple, puisqu'elle Flexibilité : L'ACP est une méthode très souple, puisqu'elle s'applique sur un ensemble de données de contenu et de taille s'applique sur un ensemble de données de contenu et de taille quelconques. quelconques. 28/02/21 28/02/21 Groupe TT6 - KikiTeam Groupe TT6 - KikiTeam 10 10 Projet Projet Le but du projet - Compresser une image Le but du projet - Compresser une image noire blanche noire blanche Le programme prend en entrée une image Le programme prend en entrée une image et à la sortie on obtiendra un certain et à la sortie on obtiendra un certain nombre des coefficients qui présentent les nombre des coefficients qui présentent les niveaux de gris les plus importants dans niveaux de gris les plus importants dans l'image. l'image. 28/02/21 28/02/21 Groupe TT6 - KikiTeam Groupe TT6 - KikiTeam 11 11 Projet - Réalisation Projet - Réalisation 0 - Choix du format d'image : 0 - Choix du format d'image : Pour la raison de la simplicité de lecture et écriture d'une Pour la raison de la simplicité de lecture et écriture d'une image, on choisit le format pgm qui est représenté par image, on choisit le format pgm qui est représenté par un fichier texte. un fichier texte. Exemple: une image Pgm de taille 4x4 : Exemple: une image Pgm de taille 4x4 : P2 P2 4 4 4 4 255 255 125 156 100 80 125 156 100 80 16 150 255 20 16 150 255 20 154 123 120 20 154 123 120 20 125 123 255 80 125 123 255 80 28/02/21 28/02/21 Groupe TT6 - KikiTeam Groupe TT6 - KikiTeam uploads/Management/apresprojet.pdf