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Cours 17 - Réponse harmonique des SLCI Lycée Bellevue Toulouse - CPGE MP Flores

Cours 17 - Réponse harmonique des SLCI Lycée Bellevue Toulouse - CPGE MP Florestan MATHURIN Page 1 sur 8 (1) Ωn est la pulsation propre du signal (2) sinusoïdale par exemple Réponse Harmonique des SLCI Amortisseur Liaisons avec la structure de l’avion Système de rétractation Sol 0 za(t) Masse équivalente suspendue Me K c Sol zp(t) 0 Réel Modèle Masse équivalente suspendue Me K c Exemple d’étude fréquentielle sur un SLCI ETUDE DYNAMIQUE DU TRAIN D’ATTERRISSAGE ARRIERE DU BOEING 787 Train de pneus L’amortisseur de train d’atterrissage d’avion est un système dynamique qui doit principalement amortir l’impact de l’avion à l’atterrissage mais qui doit aussi filtrer les sollicitations (pour les passagers, les équipements, …) imposées par les irrégularités du sol lorsque l’avion est en phase de roulage sur la piste. La modélisation simplifiée de l'avion avec son amortisseur dans la phase de vie de roulage sur la piste est donnée sur la figure de droite. zp(t) = zp0.sin(Ω.t) correspond à la modélisation du signal d’entrée (zp0 étant l’amplitude des irrégularités de la piste et Ω la vitesse de rotation de la roue de l’avion). A partir de cette modélisation, on obtient la fonction de transfert qui lie la hauteur za(t) de l'avion à la hauteur des aspérités du sol zp(t) : ( )2 2 e p a 2 p . 1 , 0 1 p . 2 , 0 1 p . M p . c K p . c K ) p ( Z ) p ( Z ) p ( H + + = + + + = = Za(p) : Transformée de Laplace de za(t) ; Zp(p) : Transformée de Laplace de zp(t) ; Me = 100t : Masse équivalente suspendue ; K =5.103 N/mm : Raideur du ressort ; c = 0,001 N.s/mm : Coefficient d’amortissement visqueux. 1 - REPONSE HARMONIQUE Soit un Système Linéaire Continu et Invariant d’entrée e(t) et de sortie s(t) régi par une équation différentielle à coefficients constants du type : ) t ( e . b ... dt ) t ( e d . b ) t ( s . a ... dt ) t ( s d . a 0 m m m 0 n n n + + = + + e(t) SLCI s(t) Lorsque l’entrée d’un SLCI est un signal sinusoïdal du type e(t) = E0.sin(Ωn.t) (1), il faut chercher une sortie en régime permanent sous la forme s(t) = S0.sin(Ωn.t + ϕ). On appelle réponse harmonique, la sortie s(t) en régime permanent d’un système soumis à une entrée e(t) périodique (2). t E0 ϕ ϕ ϕ ϕ S0 e(t), s(t) en régime permanent π 2 f 1 T = = Ωn Cours 17 - Réponse harmonique des SLCI Lycée Bellevue Toulouse - CPGE MP Florestan MATHURIN Page 2 sur 8 (4) C’est d’ailleurs le seul qui est au programme de MPSI/MP et PCSI/PSI. (5) pour calculer un module en décibel on effectue l’opération suivante : GdB = 20.log10 |H(jω)| On peut caractériser l’effet du système uniquement avec deux grandeurs qui sont : • le rapport des amplitudes 0 0 E S appelé gain du système et qui représente l’amplification du système, • le déphasage ϕ appelé phase et qui représente le décalage de s(t) par rapport à e(t). Les courbes e(t) et s(t) dessinées ne sont valables que pour la pulsation Ωn du signal d’entrée. L'objet d’une étude fréquentielle d’un système est d'étudier l'évolution du gain et de la phase, en fonction de la variation de la valeur de la pulsation ω (ω = Ωn avec +∞ < Ω < n 0 ) du signal d’entrée, sur la réponse harmonique du système. Pour réaliser l’étude fréquentielle d’un système, on exploite la fonction de transfert du système H(p) et, par la méthode des complexes, on utilise : • le gain du système 0 0 E S qui est égal au module du nombre complexe H(jω), • la phase du système ϕ qui est égale à l’argument du nombre complexe H(jω). Soit = 0 0 E S │H(jω)│ et ϕ = ϕ (ω) = arg(H(jω)) où H(jω) correspond à la fonction de transfert du système dans laquelle la variable de Laplace p a été remplacée par jω. H(jω) représente donc le comportement fréquentiel du système H(p). L’interprétation des variations de gain et de phase en fonction de la fréquence du signal (ou de la pulsation) est fondamentale tant en électronique qu’en automatique, c’est pourquoi le tracé graphique de ces variations est étudié à l’aide de différents diagrammes. 2 - LE DIAGRAMME DE BODE, LIEU DE TRANSFERT POUR LES ETUDES FREQUENTIELLES On appelle lieu de transfert toute représentation graphique du comportement fréquentiel de H(jω) à l’aide de diagrammes. Les diagrammes les plus connus portent le nom de leur inventeur : Bode, Nyquist, Black. L’un des plus utilisés est le diagramme de Bode(4). Le diagramme de Bode est constitué de deux courbes correspondant aux tracés du module et la phase de H(jω) en fonction de la fréquence (ou de la pulsation) sur une échelle logarithmique en base 10. Le module |H(jω)|dB, noté GdB, est exprimé en décibel (5). La phase ϕ est exprimée en général en degrés. Les deux courbes sont tracées séparément mais sur la même feuille, l’une en dessous de l’autre, car l’interprétation des résultats nécessite toujours une étude simultanée des deux courbes. 0 20 dB – 20 dB 10 100 0,01 0,1 1 ω (rad/s) ϕ(°) 0 – 90 10 100 0,01 0,1 1 – 45 Décade GdB (dB) ω (rad/s) Cours 17 - Réponse harmonique des SLCI Lycée Bellevue Toulouse - CPGE MP Florestan MATHURIN Page 3 sur 8 Petit rappel mathématique utile : ) . T arctan( Re) arctan(Im/ ) j . T 1 arg( ) j . T 1 1 arg( n n n ω ω ω − = − = + − = + Petit rappel mathématique utile : 2 2 n 2 2 2 n n . T 1 1 Im Re 1 j . T 1 1 j . T 1 1 ω ω ω + = + = + = + Sur l’échelle logarithmique en base 10 il n’y a pas d’origine des abscisses. Par conséquent il n’y a jamais de 0 sur l’axe des abscisses et le tracé ne concernera qu’une bande de pulsation qu’il faudra choisir judicieusement. Le principe de tracé d’un diagramme de Bode consiste à factoriser le numérateur et le dénominateur de H(jω) suivant la nature des pôles et des zéros. Cette technique permet de décomposer H(jω) en un produit de fonctions de transfert élémentaires bien connues et faciles à tracer dans Bode. ∏ ∏ ∏ ∏                 + +                 + + ⋅ + + ⋅ = p 2 p 0 p 0 p k 2 k 0 k 0 k n n m m j . 1 j . z . 2 1 j . 1 j . z . 2 1 ) j . T 1 ( ) j . T 1 ( ) j ( K ) j ( H ω ω ω ω α Gain pur Intégrateur(s) Produit de systèmes de 1er ordre Produit de systèmes de 2ème ordre Produit d’inverses de 1er ordre Produit d’inverses de 2ème ordre ω ω ω ω ω ω ω ω L’argument de H(jω) est alors la somme des arguments de chaque fonction de transfert élémentaire : ∑ ∑                 + + + + +         = m k 2 k 0 k 0 k m j . 1 j . z . 2 1 arg ) j . T 1 arg( ) j ( K arg )) j ( H arg( ω ω ω ω ω ω ω α ∑ ∑                   + + − + − p 2 p 0 p 0 p n n j . 1 j . z . 2 1 arg ) j . T 1 arg( ω ω ω ω ω Le module de H(jω) est alors le produit des modules de chaque fonction de transfert élémentaire. L’échelle en dB permet de transformer le produit des modules en une somme. On peut donc tracer séparément les diagrammes de Bode de chaque fonction de transfert élémentaire qui compose H(jω), puis faire la somme des modules et des arguments afin d’obtenir le diagramme de Bode final qui correspondra au comportement fréquentiel du système H(jω). Si H(p) = H1(p).H2(p) alors 20.log |H(jω)| = 20.log |H1(jω)| + 20.log |H2(jω)| 3 - REPONSES HARMONIQUES DES SYSTEMES ELEMENTAIRES Pour réaliser le diagramme de Bode d’une fonction de transfert quelconque, il est donc nécessaire de connaitre les diagrammes de Bode des fonctions de transfert élémentaires : • uploads/Marketing/ 3-reponse-harmonique-des-slci-et-diagramme-de-bode.pdf