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4/01/2014 CNDP Erpent - Matrices - déterminants - systèmes d'équations X - 1 X.

4/01/2014 CNDP Erpent - Matrices - déterminants - systèmes d'équations X - 1 X. Matrices - Déterminants - Systèmes d'équations 1. Introduction. 1.1 Exemple Afin de récolter de l'argent pour le camp, un groupe de guides vend des galettes et des truffes au chocolat. La première patrouille a vendu 10 paquets de galettes et 8 paquets de truffes. La seconde patrouille a vendu 12 paquets de galettes et 10 paquets de truffes. Et enfin la troisième patrouille a vendu 15 paquets de galettes et 5 paquets de truffes. Le résultat de ces ventes peut être représenté à l'aide d'un tableau 10 8 12 10 15 5           où la première colonne correspond aux ventes de galettes et la seconde aux ventes de truffes. 1.2 Définitions - notations. 1. On appelle matrice d'ordre p x n sur R un tableau comprenant p lignes et n colonnes d'éléments de R Une matrice est notée à l'aide d'une lettre majuscule : A, B, C, ... Dans notre exemple, nous avons une matrice 3 x 2 2. Les éléments d'une matrice sont notés avec des indices doubles : aij est l'élément de la ième ligne et jème colonne de la matrice A 3. Une matrice d'ordre 1 x n est une matrice ligne :   a a a n 11 12 1 ... 4. Une matrice d'ordre p x 1 est une matrice colonne : a a a p 11 21 1 ...               5. On appelle rangée soit une ligne, soit une colonne 6. Si n = p, la matrice est carrée. Dans ce cas, les éléments a11, a22 , a33.... forment la diagonale principale. 7. On appelle transposée d'une matrice A = A t , la matrice obtenue en permutant les lignes et les colonnes de A. La 1ère ligne devient la première colonne et inversement .... exemple : 1 2 2 3 1 5 1 2 1 2 3 5                      t Une matrice égale à sa transposée est dite symétrique. 8. Parmi les matrices carrées, on trouve les matrices triangulaires où tous les éléments d'un même côté de la diagonale principale sont nuls. ex. : 1 5 2 0 3 1 0 0 2             ou 2 0 0 2 3 0 10 5 2             et les matrices diagonales où seuls les éléments de la diagonale principale sont différents de zéro. ex : 1 0 0 0 23 0 0 0 7            X - 2 CNDP Erpent - Matrices - déterminants - systèmes d'équations 4/01/2014 2. Opérations sur les matrices. 2.1 Exemples . Reprenons notre exemple de la vente de galettes et de truffes. Si la vente se fait en deux semaines et les résultats sont donnés pour chacune des semaines par les tableaux suivants : semaine 1 : 10 8 12 10 15 5           semaine 2 : 10 10 11 8 13 8           Pour obtenir le total des ventes, il paraît normal d'additionner les éléments correspondants des deux matrices c'est-à-dire : 20 18 23 18 28 13           De même, si on affirme avoir doublé les ventes de la première semaine, il faut que la matrice des ventes soit égale à 20 16 24 20 30 10           Selon que les prix de vente ont été fixés à 3,5€ pour les galettes et 1.5€ pour les truffes ou à 3€ pour les galettes et 2€ pour les truffes, les recettes respectives pourront être calculées en utilisant la matrice des ventes et la matrice des tarifs pour obtenir le tableau final : Ventes Galettes Truffes Patrouille1 10 8 Tarifs Tarif 1 Tarif 2 Patrouille2 12 10 Galettes 3.5 3 Patrouille3 15 5 Truffes 1,5 2 Tarif 1 Tarif 2 Patrouille1 10 . 3.5 + 8 . 1.5 10 . 3 + 8 . 2 Patrouille2 12 . 3.5 + 10 . 1.5 12 . 3 + 10 . 2 Patrouille3 15 . 3.5 + 5 . 1.5 15 . 3 + 5 . 2 2.2 Définitions L'observation des transformations effectuées sur les matrices ci-dessus nous suggère les définitions suivantes : La somme de 2 matrices de même genre (p x n) est la matrice de type p x n obtenue en additionnant les éléments correspondants des deux matrices. ex : A = a a a a a a 11 12 13 21 22 23       B = b b b b b b 11 12 13 21 22 23       A + B = a b a b a b a b a b a b 11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23             La multiplication d'une matrice de genre p x n par un réel r est la matrice obtenue en multipliant chacun de ses éléments par le réel r. ex : A = a a a a a a 11 12 13 21 22 23       r . A = r a r a r a r a r a r a             11 12 13 21 22 23 Le produit d'une matrice de genre p  n par une matrice de type n  q est une matrice de type p  q telle que l'élément de la ième ligne, jème colonne est obtenu en faisant la somme des produits des éléments de la ième ligne de la première matrice par les éléments correspondants de la jème colonne de la seconde matrice. ex : soit à effectuer le produit d'une matrice 2 x 3 par une matrice 3 x 2 : on obtient une matrice 2 x 2 A = a a a a a a 11 12 13 21 22 23       B = b b b b b b 11 12 21 22 31 32           4/01/2014 CNDP Erpent - Matrices - déterminants - systèmes d'équations X - 3 A . B = a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b 11 11 12 21 13 31 11 12 12 22 13 32 21 11 22 21 23 31 21 12 22 22 23 32                           N.B. : pour pouvoir multiplier deux matrices entre elles, il faut que le nombre de colonnes de la première soit égal au nombre de lignes de la seconde. 2.3 Propriétés de ces opérations. 2.3.1 Addition de deux matrices. On justifie aisément les propriétés suivantes. L'addition de deux matrices 1. est interne et partout définie : la somme de deux matrices de même type est une matrice de même type 2. est associative :  A , B, C , matrices de type n x p : A + ( B + C ) = ( A + B ) + C 3. est commutative :  A, B , matrices de type n x p : A + B = B + A 4. admet un élément neutre : la matrice de type n x p dont tous les éléments sont nuls. 5. chaque matrice de type n x p admet un symétrique : la matrice dont tous les éléments sont les opposés des éléments de la matrice de départ. L'ensemble de ces propriétés fait de l'ensemble des matrices de type p x n , un groupe commutatif. 2.3.2 Produit de deux matrices. Nous ne considérerons ici que le produit de 2 matrices de type n x n Exemple : A = 2 4 3 6       B =        5 3 0 7 C=          3 1 1 9 D = 1 0 0 1       E =          1 5 3 35 1 7 0 F = 0 0 0 0       Calculer 1) A.B et B.A 2) uploads/Marketing/ 9c-10matrices-determinants-pdf.pdf