Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Chapitre 3 : Variables aléatoires continues, les lois usuelles et Approximation

Chapitre 3 : Variables aléatoires continues, les lois usuelles et Approximations des lois I) Variable aléatoire continue 1) Définitions. Soit une v.a.r. X définie sur (Ω, A, P) et soit F la fonction de répartition de X. La v.a.r. X est dite absolument continue s il existe une fonction positive f, appelée fonction densité de probabilité telle que : ∀x ∈ R, F(x) = P(X ≤ x) = ∫ −∞ x f (t )dt  La fonction f est à valeurs positives sur R: f (x) ≥ 0, x ∈ R.  L’intégrale de f sur R converge et est égale à 1. Remarque : La probabilité de tout intervalle] a,b[ est égale à p(a<X<b)= ∫ a b f (x )dx 2) Fonction de répartition d’une v.a.r.: Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé et X une v.a.r. On appelle fonction de répartition de la v.a.r. X, l’application F: R—> [0,1] définie par: pour tout x ∈ R: F(x) = P(X ≤ x) = ∫ −∞ x f (t )dt Remarque: La fonction de répartition permet de calculer les probabilités concernant les intervalles. On a P(a< X ≤ b)=F(b) - F(a) En effet: P(a < X ≤b) = P(a < X et X ≤b) = P((a < X) ∩ (X ≤b)) = P(a < X) +P(X ≤b)−P((a < X)U(X ≤b)) =1−P(X ≤ a) + P(X ≤b) − P(R) = P(X ≤b) − P(X ≤ a) = F(b ) − F(a) Proposition: on a 1- P (a<X ≤b)=∫ a b f (t)dt =F(b)-F(a). 2- P(X=a)=0 avec a une constante réelle. 3- P(a≤X≤b)= P(a<X≤b)= P(a≤X<b)= P(a<X<b) 4- P(X>a)=∫ a ∞ f (t )dt 5- La fonction de répartition est continue sur R. 6- Si la fonction de densité f d’une v.a. continue X est continue au point x alors f est la dérivée de da fonction de répartition F, c’est-à-dire F’(x)=f(x). Démonstration : 1- Comme ( a< X≤ b)=(X≤ b)- (X≤ a). 2- P(X=a)=lim P(a-1/n < X≤ b)=lim ∫ a−1/n b f (t )dt=0 3- P(a≤X≤b)= P(a<X≤b)+P(X=a)= P(a<X≤b)= P(a<X<b)+ P(X=b)= P(a<X<b)= P(a<X<b)+ P(X=a)= P(a≤X<b). Représentation graphique de F(x): 3) Loi d’une variable aléatoire Y= g(X) 1- g est bijective  si g est croissante, on a Y=g(X) <=> X=g-1(Y) et P(Y≤y) = P(g(X)≤y) = P(X≤g-1(y)). d’où FY(y)=FX(g-1(y)) avec FX et FY sont respectivement les fonctions de répartition des v.a. X et Y . En dérivant, on obtient: fY(y)=f X(g -1(y))(g -1(y))’ Avec fX et fY sont respectivement les densités de probabilité des v.a. X et Y.  si g est décroissante, on a : On a Y=g(X) <=> X=g-1(Y) et P(Y≤y) et P (Y ≤ y) = P (g(X) ≤ y) = P(X > g−1 (y)) = 1 − P(X ≤ g −1 (y)) d’où FY (y) = 1 − FX(g −1 (y)) En dérivant, on obtient fY (y) = − fX(g −1 (y))(g −1 (y))’ 2- la formule générale pour g quelconque : avec α = min {g(−∞), g(+∞)} et β = max{g(−∞), g(+∞)}. Exemple : Soit X une v.a. continue de densité f (x )={ 1 2 , x∈[−1,1] 0,sinon Soit Y=g(X)=-2X+1. Déterminer la densité de probabilité de Y. On a FY(y)= P(Y≤y) = P(-2X+1≤y)=P(X>(1-y)/2)=1-P(X≤(1-y)/2)=1-FX((1-y)/2) fY(y)=(1/2)fX((1-y)/2) Donc : f Y ( y )={ 1 4 , y∈[−1,3] 0,sinon Exemple 2 : On a Y = g(X) avec g(x) = X 2. Dans ce cas g’(x) = 2x qui est positive pour x > 0 et négative pour x < 0, d’où g n’est pas strictement monotone. Mais, pour y > 0, on a : FY (y) = P(Y ≤ y) = P(X2 ≤ y) = P(− √y ≤ X ≤ √y) = FX( √y) − FX(− √y) En dérivant, on obtient : 4) Caractéristiques des variables aléatoires continues  Espérance : L’espérance mathématique d’une v. a. continue X, de fonction de densité f est donnée par: E (X )=∫ −∞ ∞ xf (x)dx  Variance et écart-type : La variance d’une v. a. absolument continue X est définie par: V(X)=E(X-m)2 où m=E(X). Var(X) = E(X2 ) − E(X) 2  Ecart-type : σ(X) = √V (X) .  Moment d’ordre k d’une v.a. continue X, noté mk est:  Moment centré d’ordre k d’une v.a. X, noté µk est: Remarque: • La variance correspond au moment centré d’ordre 2: Var(X)=µ2 • Comme pour l’espérance mathématique, si la série ou l’intégrale correspondante diverge, les moments peuvent parfois ne pas exister. II) Lois usuelles continues : 1) Loi uniforme: Une v.a. continue X suit une loi uniforme sur un intervalle [a, b] et on note X ∼ U [a, b] si sa densité de probabilité est : La fonction de répartition F(x) de X est: Son espérance mathématique est : E(X) = (a+b)/2 Sa variance est : V(X) = (a-b)2/12. 2) Loi exponentielle: Une v.a. X continue suit la loi exponentielle, de paramètre λ>0, notée X ~ εxp(λ), si sa densité de probabilité est: Sa fonction de répartition est : Alors son espérance mathématique est: E(X) =1/λ • Sa variance: V(X)= 1/ λ2 3) Loi Gamma: Une v.a. continue X suit une loi gamma de paramètres α, β > 0 et on note X ∼ Γ(α, β) si sa densité de probabilité est : Son espérance mathématique est : E(X) = α /β Sa variance est : Var(X) = α/ β 2 Si α = 1, on retrouve la loi exponentielle de paramètre β > 0. 4) Loi de Weibull : Une v.a. continue X suit une loi de Weibull de paramètres α > 0 et β > 0, si sa densité de probabilité est : Sa fonction de répartition est : L’espérance mathématique : La variance : . 5) Loi bêta : Une v.a. continue X suit une loi bêta de paramètres α, β > 0 et on note X ∼ B(α, β) si sa densité de probabilité est : L’espérance mathématique : La variance 6) Loi de Pareto : Une v.a. X suit une loi de Pareto de paramètre α si sa densité de probabilité est définie par : Sa fonction de répartition est : Son espérance mathématique est : Sa variance est : 7) Loi de Laplace : Une v.a. X suit une loi de Laplace de paramètres α et λ > 0 si sa densité est : La fonction de répartition est : L’espérance mathématique : La variance : 8) Loi de Cauchy : Une v.a. X suit une loi de Cauchy de paramètres α et λ > 0 si sa densité est : La fonction de répartition est : La loi de Cauchy n’admet ni espérance ni variance. 9) Loi normale : Une v.a. X suit une loi normale de paramètres m et σ > 0 et on note X ∼ N (m, σ) si sa densité est : La fonction de répartition est : L’espérance mathématique : E(X)=m La variance : Proposition : Si N (m, σ), alors la v.a Y=(X-m)/ σ suit loi normale centrée réduite N (0, 1). Loi normale centrée réduite : Une v.a. X suit une loi normale centrée réduite s’il suit une loi normale de paramètre m = 0 et σ = 1 et on note X ∼ N (0, 1). Sa fonction de densité est : La fonction de répartition est : L’espérance mathématique : E(X)= 0. La variance : V(X)=1. On peut ramener tout calcul sur la fonction de répartitions d’une variable aléatoire normale N((m, σ) à un calcul sur la fonction de répartition , notée ϕ(x) , dune v.a N(0,1). En effet ; P(X≤a)=P((X-m)/σ ≤ (a-m)/ σ)= ϕ((a−m)/σ) 10) Loi Log-normale : Une v.a. X suit une loi Log-normale de paramètres m et σ > 0, et on note X ∼ LN (m, σ), si sa densité est : Son espérance mathématique est : Sa variance est : 11) Loi du Khi-deux : Une v.a. X suit une loi de Khi-deux avec n degrés de liberté, et on note X ∼ X 2 (n), si sa densité est : Son espérance mathématique est :E(X)=n Sa variance : V(X)=2n Si n 2 = α et 1/ 2 = β, on retrouve la loi Gamma. 12) Loi de Student : Une v.a. X suit une loi de Student à n degrés de liberté si sa densité de probabilité est définie par : Pour n = 1, on a f(x) = (1 /π )(1/ 1+x2 )et on retrouve la loi de Cauchy. Son espérance mathématique est : E(X) =0 Sa variance est : Var(X) = n/( n – 2) , (n > 2) 13) Loi de Fisher : Une v.a. X suit une loi de Fisher à p et q degrés de liberté si sa densité de probabilité est définie par : Son espérance mathématique : La variance III) Approximations des lois 1) Tendance de la loi hypergéométrique vers la loi binomiale: Soit X ~ H(n,a,b), alors Si N=a+b→∞, alors H(n,a,b) →B(n,a/N). En pratique, cette approximation est vraie dès que n/N <0.1 2) Approximation de la loi Binomiale par la loi de Poisson: Si les conditions suivantes pour n et p uploads/Marketing/ chapitre-3.pdf