Question a; l 2 R Comment procéder pour démontrer, en utilisant la dé…nition, q
Question a; l 2 R Comment procéder pour démontrer, en utilisant la dé…nition, que lim x!af(x) = l Réponse Soit " > 0, on cherche un > 0 tel que: 8x (0 < jx aj < ) jf(x) lj < ") Le problème est de trouver un > 0 tel que 8x (0 < jx aj < ) jf(x) lj < ") Comme la résolution de l’inégalité jf(x) lj < " n’est pas toujours facile, alors voici une méthode qui consiste e Etapes à suivre: 1. Mettre f(x) l sous forme de (x a) g(x) ce qui est toujours possible. et on écrit: f(x) l = (x a) g(x) ) jf(x) lj = jx aj : jg(x)j 2. Se débarrasser des deux barres de la valeur absolue de g(x) en étudiant le signe de g(x) dans un intervalle centré en a qu’on choisira, et que je nommerai ]a c; a + c[ : 3. Dans ]a c; a + c[, majorer jg(x)j par une constante ; Comment choisit on cet intervalle centré en a? On le choisit de telle sorte que le signe de g(x) ne change pas sur cet intervalle et que l’on puisse sur cet intervalle majorer jg(x)j par une constante. 4. On obtient: 8x 2 ]a c; a + c[ : jf(x) lj = jx aj : jg(x)j jx aj Maintenant on résoud l’inégalité jx aj < ": jx aj < " , jx aj < " 5. Comme x 2 ]a c; a + c[ est équivalente à jx aj < c On obtient d’une part: 8x : jx aj < c ) jf(x) lj = jx aj : jg(x)j jx aj Et d’autre part: 8x : jx aj < " ) jx aj < " Donc 8x : jx aj < c et jx aj < " ) jf(x) lj jx aj < " Comme: jx aj < c et jx aj < " , jx aj < min " ; c On choisit alors = min " ; c : 1 _______________________________________________________ Exemple d’application: Commençons par deux exemples simples 1. Montrer que lim x!1f(x) = 5 où f(x) = x2 + x + 3 Soit " > 0, on cherche un > 0 tel que: 8x (0 < jx aj < ) jf(x) 5j < ") On a jf(x) 5j = x2 + x + 3 5 = x2 + x 2 (a) Ecrivons x2 + x 2 sous forme de (x 1) :g(x) : 1 est une racine de x2 + x 2 et x2 + x 2 = (x 1) (x + 2) Donc x2 + x 2 = jx 1j : jx + 2j (b) Etudions le signe de x + 2 au voisinage de 1 : Si x 2 alors x + 2 0 Si x > 2 alors x + 2 > 0 Choisissons alors comme intervalle centré en 1 l’intervalle suivant ]1 1; 1 + 1[ = ]0; 2[ dans cet intervalle le signe de x + 2 est positif, donc jx + 2j = x + 2 Remarque: on aurait pu choisir un autre intervalle centé en 1 comme l’intervalle 1 1 2; 1 + 1 2 = 1 2; 3 2 ou bien 1 1 3; 1 + 1 3 ou bien ]1 3; 1 + 3[ = ] 2; 4[ ; des intervalles centés en 1 et qui gardent un signe constant. (c) Majorons jx + 2j sur ]0; 2[ : 0 < x < 2 ) 2 < x + 2 < 4: 8x : 0 < x < 2 ) jx + 2j = x + 2 < 4 ) x2 + x 2 = jx 1j : jx + 2j 4 jx 1j : (d) Résolvons l’inégalité: 4 jx 1j < " 4 jx 1j < " , jx 1j < " 4 2 (e) Comme 0 < x < 2 , jx 1j < 1; on a D’une part 8x : jx 1j < 1 ) x2 + x 2 = jx 1j : jx + 2j 4 jx 1j (1) d0après (c) et d’autre part 8x : jx 1j < " 4 ) 4 jx 1j < " (2) donc 8x : jx 1j < 1 et jx 1j < " 4 implique 8 < : jx2 + x 2j 4 jx 1j d’après (1) et 4 jx 1j < " d’après (2) Par transitivité x2 + x 2 < " Or jx 1j < 1 et jx 1j < " 4 est équivalente à jx 1j < min(" 4; 1) Par conséquent 8x : 0 < jx 1j < min(" 4; 1) ) x2 + x 2 < " On choisit alors = min(" 4; 1): ___________________________________________________ 2. Montrer que lim x! 1 (x2 x + 1) = 3 Soit " > 0, on cherche un > 0 tel que: 8x (0 < jx + 1j < ) j(x2 x + 1) 3j < ") (a) j(x2 x + 1) 3j = jx2 x 2j On peut véri…er que 1 est une racine de x2 x 2; de plus x2 x 2 = (x + 1) (x 2) Etudions le signe de x 2 au voisinage de 1: Si x 2 alors x 2 0 Si x > 2 alors x 2 > 0 Choisissons alors comme intervalle centré en 1 l’intervalle suivant 1 1 2; 1 + 1 2 = 3 2; 1 2 sur cet intervalle jx 2j = x + 2: Remarque: on aurait pu choisir un autre intervalle centé en 1 2 comme l’intervalle ] 1 1; 1 + 1[ ou bien ] 1 2; 1 + 2[ ; on choisit ces intervalles centrées de sorte que le signe de x 2 soit constant (ie le meme) autour du centre. 3 (b) Majorons jx 2j = x + 2 sur 3 2; 1 2 : 3 2 < x < 1 2 ) 1 2 < x < 3 2 ) 5 2 < x + 2 < 7 2 donc 8x : jx + 1j < 1 2 ) jx + 1j : jx 2j = jx + 1j : ( x + 2) < 7 2: jx + 1j (c) Résolvons l’inégalité: 7 2 jx + 1j < " 7 2 jx + 1j < " , jx + 1j < 2" 7 (d) D’une part 8x : jx + 1j < 1 2 ) jx + 1j : jx 2j < 7 2: jx + 1j :(1) et d’autre part 8x : jx + 1j < 2" 7 ) 7 2 jx + 1j < " (2) donc 8x : jx + 1j < 1 2 et jx + 1j < 2" 7 implique 8 > > > < > > > : jx2 x 2j < 7 2: jx + 1j d’après (1) et 7 2 jx + 1j < " d’après (2) par transitivité x2 x 2 < " Or jx + 1j < 1 2 et jx + 1j < 2" 7 est équivalente à jx + 1j < min(2" 7 ; 1 2): donc 8x : jx + 1j < min(" 7; 1 2) ) jx2 + x 2j < " : On choisit alors = min(2" 7 ; 1 2): ——————————————————————————————— 3. Montrer que lim x!3 x2 + 1 5 x = 5 exemple similaire à celui du td. Soit " > 0, on cherche un > 0 tel que: 8x 0 < jx 3j < ) x2 + 1 5 x 5 < " (a) x2 + 1 5 x 5 = x2 + 5x 24 5 x = (x 3) (x + 8) 5 x = jx 3j : x + 8 5 x Etudions le signe de x + 8 5 x au voisinage de 3: Si x 2 ] 1; 8[ [ ]5 + 1[ alors x + 8 5 x < 0 Si x 2 [ 8; 5] alors x + 8 5 x 0 Comme 3 appartient à uploads/Marketing/ explication-limite.pdf
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- Publié le Dec 25, 2022
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