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Exercice A. . Soient A et B deux (02) ensembles de R. On suppose que A ⊂B. On n

Exercice A. . Soient A et B deux (02) ensembles de R. On suppose que A ⊂B. On note la borne supérieure de l'ensemble A par MA := sup A et la borne inférieure par mA := inf A. De même pour l'ensemble B, on note par MB := sup B, mB := inf B. Par dé nition (voir le cours), on a : 1/ ∀x ∈A, on a : x ≤MA (MA est un majorant) et 2/∀ϵ > 0, il existe xϵ tel que : xϵ > MA −ϵ (le plus petit des majorants). Pour la borne inférieure, on a : 1/ ∀x ∈A, on a : x ≥mA (mA est un minorant) et 2/∀δ > 0, il existe xδ tel que : xδ < mA + δ (le plus grand des minorants). On veut montrer que MA ≤MB et mA ≥mB. Pour tout x ∈A, on a x ∈B (A ⊂B). On a donc : x ≤MB. En dé nitive, on obtient : ∀x ∈A, on a : x ≤MB, c-à-d que MB est un majorant de A. Comme MA est le plus petit des majorants, on en déduit que MA ≤MB. De la même manière, on a : Pour tout x ∈A, on a x ∈B (A ⊂B). On a donc : x ≥mB. En dé nitive, on obtient : ∀x ∈A, on a : x ≤mB, c-à-d que mB est un minorant de A. Comme mA est le plus grand des minorants, on en déduit que mA ≥mB. En dé nitive, on a : mB ≤mA ≤MA ≤MB ou pour A ⊂B, on a : inf B ≤inf A ≤sup A ≤sup B. . C ⊂C ∪D et D ⊂C ∪D. On en déduit : inf (C ∪D) ≤inf C ≤sup C ≤sup (C ∪D) et inf (C ∪D) ≤inf D ≤sup D ≤sup (C ∪D). On a : inf (C ∪D) ≤min(inf C, inf D) et sup (C ∪D) ≥max(sup C, sup D). . Soit x ∈(C ∪D), alors x ∈C ou x ∈D. Si x ∈C, alors x ≤sup(C) et x ≥inf(C). Ainsi, pour x ∈(C ∪D), on a : x ≤max(sup(C), sup(D)). Comme sup(C ∪D) est le plus petit des majorants, on a : sup(C ∪D) ≤max(sup(C), sup(D)). Il en résulte que : sup(C ∪D) = max(sup(C), sup(D)). . Ainsi, pour x ∈(C ∪D), on a : x ≥min(inf(C), inf(D)). min(inf(C), inf(D)) est un minorant de (C ∪D). Comme inf(C ∪D) est le plus grand des minorants, on a : inf(C ∪D) ≥min(inf(C), inf(D)); Il en résulte que inf(C ∪D) = min(inf(C), inf(D)). . Exercice B. . Soit l'ensemble A := m/n; tel que 0 < m < n m et n sont des entiers. 1 Montrons que l'ensemble A est borné. Soit q ∈A. On a : p = m/n avec n > m > 0. Ainsi p > 0 car m > 0 et n > 0 et p < 1 car m < n. Pour tout p ∈A, on a : 0 < p < 1. Remarquons que pour n xé, le plus grand élément de A est l'élément (n −1)/n = 1 −1/n et le plus petit élémént est 1/n. Montrons que l'ensemble A n'admet ni maximum, ni minimum. Supposons que A admette un maximum, noté M. On doit avoir : M ∈A et ∀p ∈A, p ≤M. Comme M ∈A, on a : 0 < M < 1. Soit δ := 1 −M > 0. R est un corps archimédien (voir cours). Comme δ > 0, il existe un entier k tel que kδ > 1. pour tout entier n, on prend p = 1 −1/n. Nous devons avoir, pour tout n, 1 −1/n ≤1 −δ. Relation équivalente à : 1/n ≥δ pour tout n c-à-d que nδ ≤1. On a montrer l'existence d'un entier k tel que kδ > 1. Il ya une contradiction. L'hypothèse supposée est fausse. Remarque. On montre de la même manière que A n'a pas d'élément minimal. Montrons que sup(A) = 1. 1 est un majorant de A. Montrons que c'est le plus petit majorant c-à-d que : ∀ϵ > 0, il existe un élément xϵ ∈A tel que xϵ > 1 −ϵ. R est un corps archimédien c-à-d que pour tout ϵ > 0, il existe un entier l ∈N tel que lϵ > 1. Soit k le plus petit entier tel que kϵ > 1. On a : (k −1)ϵ ≤1 < kϵ. De manière équivalente, on a : 1/k < ϵ ≤1/(k −1). Le nombre rationnel 1 −1/k = (k −1)/k est un élément de A. De plus 1 −1/k > 1 −ϵ. Il su t de prendre xϵ = 1 −1/k. Monrer (de la même manière) que inf(A) = 0. 2 uploads/Marketing/ corrige-exercices.pdf