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Chapitre 10 1ère S PRODUIT SCALAIRE DANS LE PLAN O A A' B B' D C E F G H J K L

Chapitre 10 1ère S PRODUIT SCALAIRE DANS LE PLAN O A A' B B' D C E F G H J K L Q R S I. Produit scalaire de deux vecteurs 1) Définitions Définition 1 : Pour 2 vecteurs  ;u et  ;v, le produit scalaire de  ;u et  ;v est le réel noté  ;u.  ;v défini par  ;u.  ;v = ||  ;u||  ||  ;v||  cos (  ;u,  ;v). Exemple 1 : OA OB   OA OD   OA OG   OG OR   ' A A OL   ' ' A A BB   ' A A FE   KD FE   Remarques : - le produit scalaire est un nombre réel. On a donc affaire à une opération qui, à partir de deux vecteurs, associe un autre objet mathématique : un nombre. - si l’un des vecteurs est nul, alors  ;0.  ;u = 0 et  ;u.  ;0 = 0. Définition 2 : Deux vecteurs sont orthogonaux s’ils ont des directions orthogonales ou si l’un d’eux est nul. Cas particuliers : on considère deux vecteurs  ;u et  ;v non nuls. a) Si  ;u et  ;v sont colinéaires et de même sens, alors (  ;u,  ;v) = donc  ;u.  ;v = b) Si  ;u et  ;v sont colinéaires et de sens contraire, alors (  ;u,  ;v) = donc  ;u.  ;v = c) Si  ;u et  ;v sont orthogonaux, alors (  ;u,  ;v) = donc  ;u.  ;v = Propriété : Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. 2) Propriétés On considère des vecteurs  ;u,  ;v et  ;w, et k un réel. On a alors :   ;u.  ;v =  ;v.  ;u   ;u.(  ;v +  ;w) =  ;u.  ;v +  ;u.  ;w   ;u.(k  ;v) = k  (  ;u.  ;v)   ;u.  ;u = ||  ;u||² =  ;u² = carré scalaire de  ;u. On en déduit les formules : (  ;u +  ;v).(  ;u –  ;v) = ............................................................................................................................. (  ;u +  ;v)² = ............................................................................................................................................... (  ;u –  ;v)² = ............................................................................................................................................... ainsi qu’une autre expression du produit scalaire sous la forme :  ;u.  ;v = ( ||  ;u||² + ||  ;v||² - ||  ;u -  ;v||²) II. Produit scalaire et projection On considère  ;u   ;0 et on pose  ;u = ;AB et  ;v = ;AC. On appelle H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB). Propriété : Si ;AH est le projeté orthogonal de ;AC sur la droite (AB), alors ;AB. ;AC = AB  AH lorsque H∈[AB) ;AB. ;AC = −AB  AH lorsque H∉[AB) III. Produit scalaire et coordonnées Propriété : Dans une base (Å;i ;Å;j), le produit scalaire des vecteurs Å;u(x ;y) et Å;v(x’ ;y’) est : Å;u.Å;v = xx’ + yy’ Exemple 2 : Å;u(3 ;-2) et Å;v(4 ;6). Å;u.Å;v = Donc les vecteurs Å;u et Å;v sont ……………….. IV. Exemples Exemple 3 : ABC est un triangle tel que AB = 2, BC = 3 et ;B = Error! rad. Soit K le milieu de [BC] et H le projeté orthogonal de A sur (BC). Calculer ;BA. ;BC, ;AH. ;BC et ;BC. ;CK. Exemple 4 : ABCD est un rectangle de centre O tel que AB = 4 et AD = 6. a) Calculer ;AC. ;DB. b) Déterminer une valeur arrondie au centième en radians de ;BOC. Exemple 5 : ABCD est un carré de côté 3 et CBE un triangle rectangle en B avec BE = 2. a) Calculer ;AC. ;BE. b) Calculer ;CE. ;AD. c) Calculer ;ED. ;EB. Exemple 6 : Soit un triangle ABC tel que AB = 3, BC = 5 et CA = 6. I est le milieu de [AB]. a) Montrer que pour tout point M du plan, MA2 + MB2 = 2 MI2 + AB2 . (formule de la médiane) b) En déduire la longueur de la médiane [CI]. c) Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que MA2 + MB2 = 54,5. Exemple 7 : Le triangle ABC est tel que AB = 5 cm, AC = 3 cm et CB = 7 cm. Calculer les valeurs de chaque angle du triangle, éventuellement à 1 degré près, et la longueur de la médiane [AI] où I est le milieu de [BC]. uploads/Marketing/ eleve-produit-scalaire.pdf