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© Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot FONCTIONS D’UNE VARIABLE RÉELLE

© Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot FONCTIONS D’UNE VARIABLE RÉELLE Toutes les fonctions considérées dans ce chapitre seront des d’une variable réelle (i.e. l’ensemble de départ est R) à valeurs dans R ou C. 1 Généralités 1.1 Ensemble de déﬁnition On rappelle qu’une fonction (au contraire d’une application) dont l’ensemble de départ est R n’est pas forcément déﬁnie sur R en entier. Déﬁnition 1.1 Ensemble de déﬁnition Soit f : R →R une fonction. On appelle ensemble de déﬁnition de f l’ensemble des x ∈R pour lesquels f(x) est déﬁni. Exemple 1.1 L’ensemble de déﬁnition de x 7→√x est R+. Exercice 1.1 Déterminer le domaine de déﬁnition de x 7→ » x+1 x−3. 1.2 Représentation graphique Rappel Représentation graphique La représentation graphique d’une courbe dans un repère orthonormé est l’ensemble des points de coordonnées (x, f(x)) où x décrit l’ensemble de déﬁnition. Soit f une fonction bijective. Les représentations gra- phiques de f et f−1 sont symétriques par rapport à la première bissectrice. En eﬀet, si on pose y = f(x), les points de coor- données (x, f(x)) et (y, f−1(y)) sont symétriques par rapport à la première bissectrice. Représentation graphique d’une bijection réciproque http://lgarcin.github.io 1 © Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot La fonction de référence est représentée en trait pointillé tandis que la fonction associée est représentée en trait continu. Représentation graphique de x 7→f(x) + a Translation de vecteur a ⃗  Représentation graphique de x 7→f(x + a) Translation de vecteur −a ⃗ ı Représentation graphique de x 7→λf(x) Dilatation verticale d’un facteur λ Représentation graphique de x 7→f(λx) Dilatation horizontale d’un facteur 1 λ Représentation graphique de x 7→a −f(x) Symétrie d’axe y = a 2 Représentation graphique de x 7→f(a −x) Symétrie d’axe x = a 2 Fonctions associées http://lgarcin.github.io 2 © Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot 1.3 Parité et périodicité Déﬁnition 1.2 Parité Soit f une fonction. On dit que f est paire si ▶le domaine de déﬁnition Df de f est symétrique par rapport à 0 : ∀x ∈Df, −x ∈Df ; ▶∀x ∈Df, f(−x) = f(x). On dit que f est impaire si ▶le domaine de déﬁnition Df de f est symétrique par rapport à 0 : ∀x ∈Df, −x ∈Df ; ▶∀x ∈Df, f(−x) = −f(x). Remarque. Si f est une fonction impaire déﬁnie en 0, alors f(0) = 0. Attention ! Une fonction peut n’être ni paire ni impaire ! Remarque. Il n’y a évidemment pas besoin de vériﬁer la condition sur le domaine de déﬁnition s’il est égal à R. Exemple 1.2 La fonction cos est paire. Les fonctions sin et tan sont impaires. Pour n ∈Z, la fonction x 7→xn a la parité de n. ▶La représentation graphique d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. ▶La représentation graphique d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine. Interprétation graphique Déﬁnition 1.3 Périodicité Soit f une fonction et T un réel strictement positif. On dit que f est T-périodique si ▶le domaine de déﬁnition Df de f est « T-périodique » : ∀x ∈Df, x + T ∈Df ; ▶∀x ∈Df, f(x + T) = f(x). Remarque. Il n’y a évidemment pas besoin de vériﬁer la condition sur le domaine de déﬁnition s’il est égal à R. Remarque. Si f est T-périodique, f(x + nT) = f(x) pour tout n ∈Z. Par conséquent, f est également nT-périodique pour tout n ∈N∗. Exemple 1.3 Les fonctions cos et sin sont 2π-périodiques. La fonction tan est π-périodique. La représentation d’une fonction T-périodique dans une repère (O,⃗ ı,⃗ ) est invariante par translation de vecteur T⃗ ı. Interprétation graphique http://lgarcin.github.io 3 © Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot Remarque. On a également invariance par translation de vecteur nT⃗ ı pour tout n ∈Z. 1.4 Opérations sur les fonctions Déﬁnition 1.4 Somme et produit Soient f et g deux fonctions. On déﬁnit alors f + g : x 7→f(x) + g(x) et fg : x 7→f(x)g(x). Rappel Composée On appelle composée des fonctions f et g la fonction g ◦f : x 7→g(f(x)). Exemple 1.4 La fonction x 7→ln Ä 1 + √ x2 + 1 ä est la composée de la fonction x 7→x2 + 1 suivie de la fonction x 7→√x puis de la fonction x 7→ln(1 + x). 1.5 Monotonie Déﬁnition 1.5 Monotonie Soit f une fonction déﬁnie sur un intervalle I. On dit que f est croissante sur I si ∀(x, y) ∈I2, x ⩽y = ⇒f(x) ⩽f(y) On dit que f est décroissante sur I si ∀(x, y) ∈I2, x ⩽y = ⇒f(x) ⩾f(y) On dit que f est strictement croissante sur I si ∀(x, y) ∈I2, x < y = ⇒f(x) < f(y) On dit que f est strictement décroissante sur I si ∀(x, y) ∈I2, x < y = ⇒f(x) > f(y) On dit que f est monotone sur I si elle y est croissante ou décroissante. On dit que f est strictement monotone sur I si elle y est strictement croissante ou décroissante. Attention ! Une fonction peut n’être ni croissante ni décroissante ! Remarque. Du point de vue du vocabulaire, on dit que « f est monotone sur un intervalle I ». On ne dira JAMAIS « f(x) est monotone pour tout x ∈I ». Cela signiﬁerait qu’un réel est monotone. Remarque. Une fonction constante est croissante et décroissante au sens large. La réciproque est d’ailleurs vraie : si une fonction est croissante et décroissante, alors elle est constante. http://lgarcin.github.io 4 © Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot Remarque. Si f est croissante sur I, alors ∀(x, y) ∈I2, f(x) < f(y) = ⇒x < y Si f est décroissante sur I, alors ∀(x, y) ∈I2, f(x) < f(y) = ⇒x > y Si f est strictement croissante sur I, alors ∀(x, y) ∈I2, f(x) ⩽f(y) = ⇒x ⩽y Si f est strictement décroissante sur I, alors ∀(x, y) ∈I2, f(x) ⩽f(y) = ⇒x ⩾y Les deux derniers points ne sont plus valables lorsque f est croissante ou décroissante au sens large. Par exemple, si f est une fonction constante sur I, on a f(x) ⩽f(y) et f(x) ⩾f(y) pour tout (x, y) ∈I2 mais on ne peut jamais en déduire que x ⩽y ou x ⩾y. Proposition 1.1 Stricte monotonie et injectivité Une fonction strictement monotone est injective. Remarque. La réciproque est vraie à condition de considérer une fonction continue sur un intervalle. Proposition 1.2 Somme de fonctions monotones ▶La somme de deux fonctions croissantes est croissante. ▶La somme de deux fonctions décroissantes est décroissante. ▶La somme de d’une fonction croissante et d’une fonction strictement croissante est strictement crois- sante. ▶La somme de d’une fonction décroissante et d’une fonction strictement décroissante est strictement décroissante. Remarque. A fortiori, la somme de deux fonctions strictement croissantes (resp. strictement décroissantes) est strictement croissante (resp. strictement décroissante). Exemple 1.5 La fonction x 7→x + x3 + x5 est strictement croissante sur R. Proposition 1.3 Composition de fonctions monotones ▶La composée de deux fonctions monotones de même sens de variation est croissante. ▶La composée de deux fonctions monotones de sens de variation opposés est décroissante. ▶La composée de deux fonctions strictement monotones de même sens de variation est strictement croissante. ▶La composée de deux fonctions strictement monotones de sens de variation opposés est strictement décroissante. Exemple 1.6 La fonction x 7→ln(1 + √ 1 + x2) est strictement croissante sur R+ et strictement décroissante sur R−. http://lgarcin.github.io 5 © Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot Attention ! Un produit de fonctions monotones n’est pas forcément monotone. Par exemple, x 7→x et x 7→x3 sont croissantes sur R mais leur produit x 7→x4 n’est ni croissant ni décroissant sur R. Néanmoins, si f et g sont des fonctions croissantes (resp. décroissantes) et positives, alors leur produit est croissant (resp. décroissant). De même, si f et g sont des fonctions strictement croissantes (resp. strictement décroissantes) et strictement positives, alors leur produit est strictement croissant (resp. strictement décroissant). 1.6 Fonctions majorées, minorées, bornées Déﬁnition 1.6 Soit f une fonction déﬁnie sur une partie A de R. On dit que f est majorée sur A si f(A) est majoré i.e. si ∃M ∈R, ∀x ∈A, f(x) ⩽M On dit que f est minorée sur A si f(A) est minoré i.e. si ∃m ∈R, ∀x ∈A, f(x) ⩾m On dit que f est bornée sur A si f est majorée et minorée sur A ou encore si f(A) est bornée i.e. ∃(m, M) ∈R2, ∀x ∈A, m ⩽f(x) ⩽M Remarque. On dit alors que M est un majorant de f sur A et que m est un minorant de f sur A. Remarque. Si on ne précise pas la partie A sur laquelle la fonction est majorée/minorée/bornée, c’est que l’on fait implicitement référence à tout l’ensemble de déﬁnition. Exemple 1.7 La fonction x 7→x2 est minorée sur R mais elle n’y est pas majorée. Les fonctions sin et cos sont bornées sur R. ▶Une fonction est majorée si sa représentation graphique est située uploads/Marketing/ fonction-d-x27-une-variable-reelle.pdf