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Classe: 1S2 DS1 vendredi 26 septembre 2014 Ce qui est affirmé sans preuve peut

Classe: 1S2 DS1 vendredi 26 septembre 2014 Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d’Alexandrie Exercice 1- Identification des coefficients (méthode vue en cours) 3 points Rappel de la méthode vue en cours : En écrivant les deux polynômes sous la même forme, on identifie les coefficients de même degré. 1) Déterminer les réels m, n, p tels que 3x² + mx – 7 = (nx + 1)(x + p). En développant le membre de droite, il vient : 3x² + mx – 7 = nx² + (np + 1)x + p Par identification des coefficients : { n=3 coefficients de degré 2 np+1=m coefficients de degré 1 p=−7 coefficients de degré nul . Conclusion : m = 3×(−7)+1 = –20, n = 3, p = –7 2) Déterminer les réels s et t tels que x² + 2tx = (x + s)² – 9 On peut utiliser la méthode précédente … mais aussi remarquer que x² + 2tx = (x + t)² – t² On en déduit : t² = 9, d'où, t = –3 ou t = 3, et, s = t. Conclusion : s = t = –3 ou s = t = 3 Attention : il existe deux réels qui élevés au carré donnent 9 Commentaires : La méthode s'applique dès qu'on a deux écritures identiques (sous la même forme) pour une infinité de valeurs de la variable … Ne confondez pas dans le vocabulaire : coefficient et variable … Exercice 2- Quelques calculs (comme dans le DM1) 3 points 1) Développer, réduire et ordonner A(x) = (2x + 5)² – (5x + 2)(5x – 2) – ( 1– x)(3 + x) A(x) = 4x² + 20x + 25 – (25x² – 4) – (3 + x – 3x – x²) A(x) = 4x² + 20x + 25 – 25x² + 4 – 3 – x + 3x + x² A(x) = –20x² + 22x + 26 2) Factoriser en un produit de facteurs du premier degré B(x) = 4(x – 3)² – 9 = 4(x – 3)² – 9 = [2(x – 3)]² – 3² = [2(x – 3) – 3][2(x – 3) + 3] = (2x – 6 – 3)(2x – 6 + 3) B(x) = (2x – 9)(2x – 3) Commentaires : Voir DM1 (ces calculs étaient dans le DM1) Exercice 3- Vrai-Faux 4 points Pour chaque item, dire si la proposition est vraie ou fausse et dans tous les cas, justifier votre réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas notée. "La différence entre le mot juste et un mot presque juste est la même qu'entre l'éclair et la luciole." Mark Twain 1/6 DS1_corrige.odt 01/10/14 Classe: 1S2 DS1 vendredi 26 septembre 2014 Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d’Alexandrie Proposition Vrai- Faux Justification La parabole d'équation y = x² + x + 1 coupe l'axe des abscisses en deux points FAUX Une méthode : On peut écrire x² + x + 1 = (x+ 1 2) 2 - 1 4 + 1 = (x+ 1 2) 2 + 3 4 . Le sommet de la parabole est 3 4 > 0 et le coefficient de x² est strictement positif. Une autre méthode :  = 1² – 4×1×1 = –3  < 0, l'expression x² + x + 1 n'est jamais nulle. Une autre méthode : x² + x + 1 = 1 équivaut à x(x + 1) = 0. On obtient deux points de la parabole d'ordonnée 1 : A(0 ; 1) et B(–1 ; 1) L'abscisse du sommet est – 1 2 et (−1 2) 2 −1 2+1 = 3 4 (on retrouve la première méthode) La fonction x  –x² + 2x + 5 admet un maximum. VRAI Le coefficient –1 de x² est strictement négatif. La fonction admet un maximum en – 2 2×(−1) = 1. Ce maximum vaut : f(1) = 6 Dans un repère, la droite passant par les points A(3 ; 2) et B(0 ; 2) a pour équation x = 2 FAUX Les deux points A et B ont la même ordonnée 2. Une équation de (AB) est : y = 2 (L'équation x = 2 caractérise l'ensemble des points ayant la même abscisse 2, c-à-d. une droite parallèle à l'axe des ordonnées) Si ⃗ AB + ⃗ BC = ⃗ AC alors B est le milieu de [AC] FAUX Contre-exemple : Cette construction vérifie la condition suffisante : et ne vérifie pas la condition nécessaire . "La différence entre le mot juste et un mot presque juste est la même qu'entre l'éclair et la luciole." Mark Twain 2/6 DS1_corrige.odt 01/10/14 Classe: 1S2 DS1 vendredi 26 septembre 2014 Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d’Alexandrie Proposition Vrai- Faux Justification La droite passant par les points D(1 ; 5) et E(–3 ; 13) a pour coefficient directeur 2. FAUX Calcul : Δ y Δ x = 13−5 −3−1 = –2 ou encore La droite représente une fonction affine décroissante ou encore –3 < 1 et 13 > 5, donc, la fonction affine est décroissante. Le coefficient directeur de (DE) sera négatif. Commentaires : Une " affirmation " n'est pas une preuve : Dire : " c'est vrai car, la parabole est tournée vers le bas " est une affirmation sans preuve. La proposition ne dit pas que la parabole est tournée vers le bas. Dans la proposition, quel(s) élément(s) permet(tent) de dire que " la parabole est tournée vers le bas " ? Ne donner pas une preuve (fausse) au hasard : Dans y = x² + x + 1, le coefficient c = 1 est positif. Dans y = x² + 3x + 1, le coefficient c = 1 est positif. Pourtant, la situation est entièrement différente. Si vous pensez que votre argument est valable, dites à quelle propriété vous faites allusion. "La différence entre le mot juste et un mot presque juste est la même qu'entre l'éclair et la luciole." Mark Twain 3/6 DS1_corrige.odt 01/10/14 Classe: 1S2 DS1 vendredi 26 septembre 2014 Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d’Alexandrie Vocabulaire : je ne connais pas : " équation positive ", " courbe positive " ou " courbe négative " ou " courbe croissante " ou " courbe décroissante " ou " fonction montante " …. je connais : expression positive, fonction croissante, fonction décroissante … Exercice 4 - Second degré Quelques rappels : Résoudre ... Il ne suffit pas de donner une solution .... Résoudre une équation (resp. une inéquation), c'est donner toutes les solutions de l'équation (resp. inéquation) Une solution d'une équation (resp. une inéquation) numérique est un nombre réel qui rend vraie l'égalité (resp. l'inégalité). Une égalité : 2 + 3 = 5 (a + b)² = a² + 2ab + b² (toujours vérifiée) Une équation : x + 3 = 5 (égalité seulement lorsque x = 2) (a + b)² = a² + 2ab + 9 (égalité seulement lorsque b = 3 ou lorsque b = –3) Propriété : Produit nul : Vous connaissez bien cette propriété : Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul. Que faut-il pour l'appliquer : - un produit - que ce produit soit nul - reconnaître chaque facteur. Par conséquent : Si vous n'avez pas un produit Si vous avez un produit qui n'est pas nul, la propriété ne s'applique pas Développement, factorisation Le passage d'un produit à une somme est un développement Le passage d'une somme à un produit est une factorisation ... Pensez toujours à contrôler les calculs .... Les formules : Vous verrez dans le corrigé qu'aucune formule n'était nécessaire si on appliquait les résultats démontrés en cours sur les liens entre " racines ", " factorisation ", axe de symétrie de la parabole ... Correction f est un polynôme du second degré défini sur ℝ par f (x) = x² – 42x + 80 "La différence entre le mot juste et un mot presque juste est la même qu'entre l'éclair et la luciole." Mark Twain 4/6 DS1_corrige.odt 01/10/14 Classe: 1S2 DS1 vendredi 26 septembre 2014 Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d’Alexandrie 1) Résoudre l'équation f (x) = 80 f (x) = 80 ⇔ x² – 42x + 80 = 80 ⇔ x(x – 42) = 0 (On ramène à 0, on factorise, ...) s1 = {0 ; 42} Commentaire : Les autres méthodes sont maladroites puisque la factorisation est évidente. 2) Donner la forme canonique de f (x). (Indiquer la démarche) Méthode la plus simple si le 1/ est résolu. (Lien avec la parabole : On pense à l'axe de symétrie, et, on calcule l'ordonnée du sommet) Comme 0+42 2 = 21 et f(21) = 21² – 42×21 + 80 = 21²(1 – 2) + 80 = 80 – 441 = – 361 f (x) = (x – 21)² – 361 uploads/Marketing/ ds1-corrige 3 .pdf