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Guillaume Deslandes MPSI 1 Chapitre 0: Raisonnements et rédactions Un des objec

Guillaume Deslandes MPSI 1 Chapitre 0: Raisonnements et rédactions Un des objectifs de l'année est d'apprendre à raisonner et surtout à rédiger car la rédaction est la seule trace du raisonnement sur la copie. A l faut toujours, sauf mention explicite du contraire, justifier/rédiger ses réponses. Exemple. A la question "la fonction f est-elle dérivable en 0?", il faut justifier sa réponse. Répondre sinplement "oui" ne rapportera aucun point, même si c'est la bonne réponse. I. Logique 1) Connecteurs logiques Vocabulaire. On appelle proposition (ou assertion) mathématique une affirmation bien définie qui est soit vraie soit fausse. théorème une proposition vraie qui a été démontrée. lemme un théorème servant à établir un théorène plus important. corollaire un théorème qui est une conséquence d'un autre théorème. conjecture (ou problème ouvert) une proposition qu'on pense vraie mais qui n'a pas encore été démnontrée. axiome une propositions supposée vraie. Exemple. Les affirmations suivantes sont des propositions mathématiques ."23" (vraie) ."Tout entier peut s'écrire comme la somme de deux carrés d'entiers." (fausse, 3 est un contre-exemple) ."I existe une infinité de nombres premiers jumeaux (espacés de deux unités)" (c'est une conjecture) Remarque. I ne faut pas penser que les mathématiques sont terminées, il existe à l'heure actuelle des milliers de conjectures en mathématiques. A 1 =" ou "un milliard est un grand nombre" ne sont pas des propositions mathématiques, la première n'a aucun sens, la seconde est mal définie. Remarque. Une proposition peut dépendre d'une variable (on parle alors de prédicat) Exemple. Soit r un réel. P(r): "a < r2" est un prédicat. Définition 1 (et/ou): Soient P et Q deux propositions, on définit les propositions PAQ (que se lit P et Q), vraie quand P et Q sont vraies et fausse sinon. PvQ(qui se lit P ou Q), vraie quand au moins une des deux propositions est vraie et fausse sinon. Table de vérité des connecteurs A et V: P Q PAQ|PvQ V F F v FF F P F Lycée Stanislas 1 2022 2023 Guillaunne Drslann MPSI 1 A Le ou mathématique n'a pas le même sens que le ou en français expression "fromage ou dessert" signifie que l'on peut prendre du fromage ou du dessert mais pas les deux. On parie de ou exchusif. Dans la phrase "J'aimerais devenir chanteur ou acteur de cinéna", on ainerait aussi devenir les deux. On parle de ou inclusif. Le ou français peut ètre exclusif ou inclusif alors que le ou mathématique est toujours inclusit. Remarque, A et V sont commutatifs au sens où PAQ équivaut à QAP et PvQà QVP. Proposition 1 Soient P, Q. R trois propositions. On a : 1. (PAQ)vR équivaut àa (Pv R) A (Qv R) 2. (PvQ) AR équivaut à (P A R) v (QA R). Preuve. Ecrire les tables de vérités. 2) Négation Définition 2 (négation): Soit P une proposition, on définit la négation de P notée -P (qui se lit non P) par la proposition qui est Vraie quand P est fausse et fausse quand P est vraie. Tables de vérité de la négation : négation en mathématiques n'a pas le même sens que le contraire en français. I faut ètre vigilant sur deux points: 1. P et P ne peuvent pas être toutes les deux vraies 2. P et -P ne peuvent pas être toutes les deux fausses (il ne doit pas y avoir de troisième possibilité). On néglige trop souvent le second point. Exemple. Par exemple, la négation de "En MPSI 1 il n'y a que des garçons" est "En MPSI 1 il y a au moins une fille" et pas "En MPSI 1 il n'y a que des filles". /!négation (mathématique) # contraire (français) Remarque. En mathématique, "il y a un/une" veut toujours dire "il y a au moins un/une", sinon on précise "il y a exactement un/une". Exemple. "En MPSI 1 il y a au moins une fille" équivaut à dire "En MPSI 1 il y a une fille". Proposition 2 Soient P et Q deux propositions. 1. La négation de -P est P done -(-P) équivaut à P. 2. La négation de PAQ est (-P) v (-Q). 3. La négation de Pv Q est (-P) A (-Q). 2 2022 - 2023 Lycée Stanislas MPSI 1 Guillaume Deslandes 3) Implication Définition 3 Soient P et Q deux propositions. On définit la proposition "P implique Q" notée P> Q par la table de vérité: PQP>Q V |F Y F FF La proposition mathématique PQ correspond à "si P est vraie, alors Q est vraie". Exemple. Quelqu'un affirme "s'il pleut, alors il y a des nuages". S'il pleut et qu'il y a des nuage, l'implication est Vraie. S'il pleut et qu'il n'y a pas de nuages, l'implication est fausse. S'il ne pleut pas, on ne peut pas dire qu'elle est fausse donc elle est vraie. Remarque. "si P est vraie, alors Q est vraie" est fausse uniquement quand P est vraie et Q est fausse. Tant que P est fausse on ne peut pas dire que P>Q est fausse donc on dit qu'elle est vraie. Une proposition de la forme P Q s'appelle une implication. On parle donc de l'imnplication P >Q au lieu de la proposition P => Q. s Si P et Q sont vraies alors P Q est vraie même s'il n'y a aucun rapport entre P et Q. Exemple: "2 est un nombre premier 10 < 20" est vraie. De même, si P est fausse alors P > Q est vraie même s'il n'y a aucun rapport entre P etQet même si Q est fausse. Exemple: "si 1 = 2 alors 4 est un nombre premier" est vraie. A Savoir que P >Q est vraie ne nous apprend rien ni sur P ni sur Q, mais nous apprend seulement que quand Pest vraie, Q l'est aussi. Vocabulaire. L'implication P > Q se lit aussi ."il suffit que P soit vraie pour que Q soit vraie". On dit que P est une condition suffisante pour que Q soit vraie. ."il faut que Q soit vraie pour que P soit vraie". On dit que est une condition nécessaire pour que P soit Vraie (P ne peut pas être vraie sans que Q soit vraie). Méthode. Pour montrer que P > Q est vraie, on suppose que P est vraie et on montre Q. I est inutile de se demander ce qui se passe si P est fausse puisque dans ce cas P>Q est automatiquement vraie. un réel. Montrer querd + 2x -4 0> < 2. Exemple. Rédaction : On suppose que r+2x-4 <0. z 0 donc 2a -4 +2x - 4 or +2x -40 donc 2r -4 0 donc r 2 d'où le résultat. A Aux fausses implications. Soit r et y des réels, l'implication r = y > r = y* est vraie mais l'implication 2 = y r = y est fausse, il faut écrire =y(r y Vr = -y). Noter que a = y (r = yVr = -yVa = 2y) est aussi vraie. Proposition 3 (transitivité de l'implication) Soient P, Q et R trois propositions. On a: (P)n (Q R) (P» R) 2022 2023 3 Lycée Stanislas Guillaume Deslanles MPSI 1 Définition 4 (contraposée d'une implication): Soient P et Q deux propositions. On appelle contraposée de 1'implication P>Qlimplication (Q)>(-P). Exemple. La contraposée de "sil pleut, alors il y a des uages" est "s'il n'y a pas de nuages, alors il ne pleut pas Proposition 4: he implication est équivalernte à sa contraposée, i.e., elles sont toutes les deux vraies ou toutes les deux fausses. Proposition 5 (négation d'une implication): P Q est équivalente à (-P) v Q donc la négation de P » Q est PA(-Q). A La négation d'une implication n'est pas une implication. Exemple. La négation de "s'il pleut, alors il y a des nuages" est "il pleut et il n'y a pas de nuages". Définition 5 (réciproque d'une implication): Soient P et Q deux propositions. On appelle réciproque de l'mplication P Qlimplication Q P. Exemple. La réciproque de "s'il pleut, alors il y a des nuages'" est "s'il y a des nuages, alors il pleut". AN Même si l'implication P >Q est vraie, sa réciproque Q> P ne l'est pas forcement. I ne faut pas confondre P » Q et Q>P. 4) Equivalence Définition 6 (Équivalence): Soient P et Q deux propositions. On définit la proposition P Q par la proposition (P > Q)A (Q > P). PQ se lit "P et Q sont équivalentes". Table de vérité de P eQ: POL V QPPeQ V V V V F N F F F PQ est vraie lorsque P et Q sont vraies ou fausses simultanément. Vocabulaire. L'équivalence P Q se lit de la façon suivante pour que P soit vraie, il faut et il suffit que Q soit vraie. Qest une condition nécessaire et suffisante à P. P est vraie si et seulement si Q est vraie. Bien sûr, l'équivalence est symétrique : si on a P Q on a aussi Q P et inversement. Pour uploads/Marketing/ hx1-bizuth-chapitre-0.pdf