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1 Ecole Supérieure privée A.U. 2019/2020 - Semestre 2 de l’Aéronautique et des

1 Ecole Supérieure privée A.U. 2019/2020 - Semestre 2 de l’Aéronautique et des Technologies Maths Appliquées - Niveau 3GT et 3GA Enseignante : Marwa Bouali TP : Diﬀérentiation Numérique Objectif Dans ce TP, nous allons approximer, sous Matlab, la dérivée première f′(x) et la dérivée seconde f′′(x). Notons que l’expression analytique de f(x) peut être connue comme elle peut être inconnue. Compte rendu Vous devez rédiger un compte-rendu dans lequel vous répondrez à toutes les questions de ce TP. La qualité de la rédaction, de la synthèse, de l’analyse des résultats obtenus sont des critères importants pour la note. Principe On considère une fonction f : [a, b] →R de classe suﬃsamment élevée, x ∈]a, b[ ﬁxé. On veut approcher (au mieux !) les dérivées de la fonction f au point x. Or f′(x) = lim h→0 f(x + h) −f(x) h avec h > 0 (petit), on obtient f′(x) ≃f(x + h) −f(x) h . Nous constatons que cette approximation de f′(x) fait intervenir la valeur de f en x et x + h, ce qui nous conduit à approcher les nombres f′(x), f′′(x), · · · , f(n)(x) en utilisant un ensemble discret de points. Une des méthodes les plus anciennes utilisées pour obtenir des formules de dérivation numérique consiste à construire des quotients diﬀérentiels à l’aide des développements de Taylor. 1. Approximation de la dérivée première Eﬀectuons un premier développement de Taylor d’ordre 1 de f autour de x : f(x + h) = f(x) + h f′(x) + h2 2! f′′(ξ), ξ ∈[x, x + h]. On obtient      f′(x) ≃f′ d(x) = f(x + h) −f(x) h , c’est la formule de diﬀérences ﬁnies progressives. Ed = −h 2 f′′(ξ), ξ ∈[x, x + h], c’est l’erreur commise. 2 Eﬀectuons un deuxième développement de Taylor d’ordre 1 de f autour de x : f(x −h) = f(x) −h f′(x) + h2 2! f′′(ξ), ξ ∈[x −h, x]. On obtient      f′(x) ≃f′ g(x) = f(x) −f(x −h) h , c’est la formule de diﬀérences ﬁnies régressive. Eg = h 2 f′′(ξ), ξ ∈[x −h, x], c’est l’erreur commise. Les formules obtenues sont donc deux approximations d’ordre 1 de la dérivée première et l’erreur à chaque fois tend vers 0 quand h tend vers 0. Augmentons l’ordre du développement de Taylor de f autour de x : f(x + h) = f(x) + h f′(x) + h2 2! f′′(x) + h3 3! f′′′(ξ1), ξ1 ∈[x, x + h], f(x −h) = f(x) −h f′(x) + h2 2! f′′(x) −h3 3! f′′′(ξ2), ξ2 ∈[x −h, x]. En soustrayant membre à membre, on obtient f(x + h) −f(x −h) = 2hf′(x) + h3 6 f′′′(ξ1) + f′′′(ξ2) . Ce qui donne      f′(x) ≃f′ c(x) = f(x + h) −f(x −h) 2h , c’est la formule de diﬀérences ﬁnies centrées. Ec = −h2 12 f′′′(ξ1) + f′′′(ξ2) = −h2 6 f′′′(ξ), ξ ∈[x −h, x + h], c’est l’erreur commise. Supposons que l’intervalle [a, b] est découpé en N intervalles, on pose h = b −a N et on introduit les points de grille xi de sorte que xi = a + ih, i = 0, · · · , N. Supposons que f est connue uniquement en les points de grille xi. Alors pour approcher f′(xi), i = 0, · · · , N : 1. La formule de diﬀérences ﬁnies progressive donne : f′(xi) ≃f′ d(xi) = f(xi+1) −f(xi) h , i = 0, · · · , N −1. (1) On remarque que la relation (1) n’est pas déﬁnie pour i = N, on perd donc le dernier point de grille quand on utilise cette relation pour approcher f′(xi). 2. La formule de diﬀérences ﬁnies régressive donne : f′(xi) ≃f′ g(xi) = f(xi) −f(xi−1) h , i = 1, · · · , N. (2) On remarque que la relation (2) n’est pas déﬁnie pour i = 0, on perd donc le premier point de grille quand on utilise cette relation pour approcher f′(xi). 3. La formule de diﬀérences ﬁnies centrées donne : f′(xi) ≃f′ c(xi) = f(xi+1) −f(xi−1) 2h , i = 1, · · · , N −1. (3) On remarque que la relation (3) n’est pas déﬁnie pour i = 0 et i = N, on perd donc le premier et le dernier point de grille quand on utilise cette relation pour approcher f′(xi). Constatons aussi que f′ c(xi) = f′ g(xi) + f′ d(xi) 2 , i = 1, · · · , N −1. 3 Soient la fonction f : x →sin(x) et le segment [0, π/2] que l’on divise en 10 intervalles. 1. Représenter les dérivées f′ d, f′ c, f′ g en chacun des points de la subdivision. 2. Ajoutez le traçage de graphe de la fonction dérivée f′ sur une même ﬁgure avec une couleur diﬀérente et une légende. Que remarquez-vous ? 3. Quelle est la méthode la plus performante pour le calcul de la dérivée numérique ? 4. Matlab dispose d’une fonction prédéﬁnie de calcul de la dérivée appelée diﬀ. Pour trouver la dérivée de la fonction f(x) = sin(x), on écrira : ≫syms x ; ≫f = sin(5 ∗x) ; ≫d f = diff(f) Ici la commande syms crée des variables et des fonctions symboliques. 5. Matlab propose la fonction polyder pour calculer la dérivée d’un polynôme telle que : dP dx = n an xn−1 + (n −1) an−1 xn−2 + . . . + a1. Parce que la dérivée du polynôme est obtenue à partir de la formule précédent, la fonction polyder n’est pas une opération de diﬀérentiation numérique. Sa syntaxe peut prendre la forme suivante b = polyder(P), renvoie un vecteur b contenant les coeﬃcients de la dérivée du polynôme P. Adapter cette fonction en utilisant le polynôme P(x) = 3x5 −2x3 + x + 5. 2. Approximation de la dérivée seconde Pour obtenir une approximation de la dérivée seconde, nous procédons de la même façon, mais à partir de développements de Taylor d’ordre 4 : f(x + h) = f(x) + h f′(x) + h2 2! f′′(x) + h3 3! f′′′(x) + h4 4! f(4)(ξ1), ξ1 ∈[x, x + h]. f(x −h) = f(x) −h f′(x) + h2 2! f′′(x) −h3 3! f′′′(x) + h4 4! f(4)(ξ2), ξ2 ∈[x −h, x]. Après addition, on obtient la formule de diﬀérence centrée pour f′′ (une approximation de la dérivée seconde de f en x) f′′ c (x) = f(x + h) −2 f(x) + f(x −h) h2 . Basant sur les Approximations de la dérivée première, on obtient la formule de diﬀérence pro- gressive pour f′′ f′′ d (x) ≃f(x + 2h) −2f(x + h) + f(x) h2 et la formule de diﬀérence regressive pour f′′ f′′ g (x) ≃f(x) −2f(x −h) + f(x −2h) h2 . Si on fait la moyenne des deux dérivées décentrée à gauche et à droite on obtient formule de diﬀérence centrée pour f′′. Soient la fonction f : x →sin(x) et le segment [0, π/2] que l’on divise en 10 intervalles. 1. Représenter les dérivées secondes f′′ d , f′′ c , f′′ g en chacun des points de la subdivision. 2. Ajoutez le traçage de graphe de la fonction dérivée seconde f′′ sur une même ﬁgure avec une couleur diﬀérente et une légende. Que remarquez-vous ? 3. Quelle est la méthode la plus performante pour le calcul de la dérivée seconde numérique ? uploads/Marketing/ tp6-derivation-numerique.pdf