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14/10/2019 1 Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediene Fac

14/10/2019 1 Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediene Faculté de Mathématiques Math1 L1 – Semestre 1 SM – ST Dr. M. ZIDANI-BOUMEDIEN Page facebook: Math-Université Site web: www.Maths-up.net Bureau: 218 Fac Maths USTHB – Fac. Math - 0ct2019 1 MATH1 - L1- S1_M. BOUMEDIEN-ZIDANI Nouveau Programme du Math1 Algèbre générale: 1. Logique, Ensembles, Applications 2. L’ensemble des nombres réels Analyse: 3. Fonctions numériques de la variable réelle 4. Calcul différentiel des fonctions numériques de la variable réelle 5. Développements limités Algèbre Linéaire 5. Calcul matriciel, 6. Déterminants, 7. systèmes linéaires USTHB – Fac. Math - 0ct2019 2 MATH1 - L1- S1_M. BOUMEDIEN-ZIDANI Bibliographie/Sitographie 1) Nikolaï PISKOUNOV, « Calcul Différentiel Et Intégral », Tome 1 et 2, Editions Mir, MOSCOU 1980 ou Ed. Ellipses 1993 2) James STEWART, «Analyse : concepts et contextes Vol 1 Fonctions d'une variable », Ed. De Boeck, 2011 3) Abdelkader KHELLADI, « Introduction à l’Analyse Mathématique », Cahier N°1, 2 et 3, Ed. OPU, 2013 4) G. BARANENKOV, R. CHOSTAK, B. DÉMIDOVITCH et al., « Recueil D’exercices Et De Problèmes D’analyse Mathématique», sous la direction de B. Démidovitch ; traduit du russe par H. Damadian, 9è ed., Moscou, Ed. Mir , 1984, trad.1977 USTHB – Fac. Math - 0ct2019 MATH1 - L1- S1_M. BOUMEDIEN-ZIDANI 3 Bibliographie/Sitographie 5) Mohamed MEHBALI, « Mathématiques 1: Fonction d’une Variable Réelle », Ed. OPU, 2013 6) www.Maths-up.net 7) exo7.emath.fr (consulté le 16/09/2018) 8) http://www.bibmath.net/ (consulté le 16/09/2018) USTHB – Fac. Math - 0ct2019 MATH1 - L1- S1_M. BOUMEDIEN-ZIDANI 4 Avant-propos Le programme de ce cours est bien chargé, n’est-ce pas? Oui, et c’est pour cette raison qu’un support de cours adapté à ce programme est absolument indispensable et c’est aussi pour cette raison que nous insisterons sur la compréhension des concepts nouveaux de ce cours en tenant compte de ce que vous avez déjà appris au lycée. Nous traiterons chaque concept, autant que possible, selon différentes représentations: symbolique, numérique, visuel et verbal. Une fois ces concepts de base bien assimilés, vous n’aurez aucun mal dans la suite de votre cursus, à vous approprier les techniques associées à chaque concept selon votre spécialité. Vu que les filières SM et ST s’intéressent essentiellement aux mathématiques appliquées, dans ce cours, les démonstrations purement formelles ne seront pas prioritaires. USTHB – Fac. Math - 0ct2019 5 MATH1 - L1- S1_M. BOUMEDIEN-ZIDANI Avant-propos Évidemment, pour réussir ce cours de base, il faut au moins: Lire et Relire le cours, Faire les exercices proposés, Poser des questions et Persévérer! Les chapitres 1 et 2 sont particulièrement nouveaux pour vous mais les cours sont sur ma page web www.Maths-up.net, par chapitre. Les mises à jour seront faites régulièrement (إن شاء هللا). Comme nul n’est infaillible, des erreurs pourraient se glisser dans cette première contribution malgré mes multiples vérifications. Les remarques et/ou questions, sont les bienvenues de la part de mes collègues ou des étudiants à qui nous disons: بالتوفيق USTHB – Fac. Math - 0ct2019 6 MATH1 - L1- S1_M. BOUMEDIEN-ZIDANI 14/10/2019 2 Chapitre 1. 1. Notions de Logique. 2. Ensembles 3. Relations: d’ordre et d’équivalence. 4. Application, injection, surjection, bijection. USTHB – Fac. Math - 0ct2019 MATH1 - L1- S1_M. BOUMEDIEN-ZIDANI 7 1. Logique 1. Exemple, Mots mathématiques, Symboles 2. Connecteurs logiques 3. Quelques modes de raisonnement en mathématiques La logique est la branche des mathématiques qui établit les lois du raisonnement rigoureux. USTHB – Fac. Math - 0ct2019 MATH1 - L1- S1_M. BOUMEDIEN-ZIDANI 8 1. Notions de Logique Considérons la situation suivante: Deux étudiants Salim et Rachid veulent travailler ensemble à la bibliothèque le lendemain de leur rencontre. Rachid dit à Salim: « s’il pleut, je ne viendrai pas ». Salim lui répond: « Ok ». Il n’a pas plu mais Rachid n’est pas venu, donc Salim s’est fâché, considérant que Rachid a manqué à sa parole. Rachid, a-t-il vraiment manqué à sa parole? Cette situation est une des ambiguïtés du langage courant (qui crée d’énormes problèmes entre les gens!) que la logique par son langage rigoureux permet d’éviter. D’autre part, si une question se pose, donner une réponse, n’avance à rien si celle-ci n’est pas justifiée. C’est par une démarche logique, un raisonnement ou une démonstration, que la réponse est jugée vraie (juste) ou fausse. C’est donc par les moyens que donne la logique, qu’il est possible de construire un raisonnement mathématique rigoureux. USTHB – Fac. Math - 0ct2019 MATH1 - L1- S1_M. BOUMEDIEN-ZIDANI 9 1. Notions de Logique 1) Mots Mathématiques En plus des termes primitifs, ou mots du langage courant avec le sens courant, il existe des mots spécifiques aux mathématiques: Une assertion est un énoncé qui prend une seule des 2 valeurs logiques: soit vrai, soit faux. Exemples: « 1=0 » est une assertion fausse; " " est une assertion vraie; " " n’est pas une assertion. Un axiome ( (مسلمة أو بديهيةest un énoncé qu’on ne peut pas démontrer parce qu’ils sont les premiers, ils sont vrais par convention. Exemple: les axiomes d’Euclide. Une conjecture est un énoncé qui semble vrai mais qui n’a pas été démontré. USTHB – Fac. Math - 0ct2019 MATH1 - L1- S1_M. BOUMEDIEN-ZIDANI 10 réel x tout pour ex , 0  2 x 1. Notions de Logique 1) Mots Mathématiques (suite) Les énoncés qui se démontrent, sont classés selon leur importance: • un théorème est une assertion vraie déduite d’autres assertions déjà connus en utilisant les seules règles de la logique au moyen d’une démonstration. Il s’agit en général d’un résultat important à retenir ; • une proposition est une assertion jugée vraie ou fausse sans ambiguïté, par une démonstration facile. Une proposition est moins importante qu’un théorème. • un lemme est un résultat préalable utile pour démontrer un théorème; • un corollaire est une conséquence importante d’un théorème USTHB – Fac. Math - 0ct2019 MATH1 - L1- S1_M. BOUMEDIEN-ZIDANI 11 2 x 1. Notions de Logique 2) Symboles mathématiques de base A. Le quantificateur universel et le quantificateur existentiel : Si, pour toute valeur de la variable x d’un ensemble E, la proposition P est vraie (vérifiée), on écrira: . S’il existe au moins une valeur de la variable telle que la proposition P soit vérifiée, on écrira: . Exemples: Soit les propositions suivantes contenant la variable x réelle: Pour dire si ces propositions sont vraies ou fausse en utilisant les quantificateurs, on écrira: ou B. Égalité « = »: « a = b » veut dire « a désigne le même élément que b ». Par abus de langage, on dit « a égal b ». USTHB – Fac. Math - 0ct2019 MATH1 - L1- S1_M. BOUMEDIEN-ZIDANI 12 vraie P , x  vraie P , x    . x x : C(x) 1); x(x x x : B(x) 0; 1 x : A(x) 2 2        1   vraie que tel 1 1 A(x) , - x  fausse. simplement ou vraie C(x) x, B(x); x, B(x) x,      vraie 1 1 A(x) , - x  14/10/2019 3 1. Notions de Logique 3) Connecteurs (ou opérateurs) logiques Connecteurs logiques opérations entre propositions formalisme mathématique A. Négation: La négation de P est la proposition qui est vraie si P est fausse et fausse si P est vraie. Notations de la négation: ⎤P , « non P », Exemples: P: « x est pair », ⎤P : « x impair»; Q: « a = b », non Q : «a ≠ b» la négation de est ; la négation de est . H: «x , P vraie » , non H: «x, P non vraie ». B. Conjonction « et »: « P et Q » veut dire: P est vraie et Q est vraie en même temps. Notation de « et » : ; Négation du «P et Q » : «⎤P ou ⎤Q» (Loi de Morgan) On classe les valeurs d’une opération dans un tableau de vérité selon les valeurs des propositions utilisées dans l’opération . Fig.1: Tableau de vérité de P Q USTHB – Fac. Math - 0ct2019 MATH1 - L1- S1_M. BOUMEDIEN-ZIDANI 13 P P Q P Q V V V V F F F V F F F F 1. Notions de Logique 3) Connecteurs (ou opérateurs) logiques C. Disjonction « ou »: « P ou Q » indique que l’une au moins, des deux propositions est vraie. Notation de « ou » : ; donc « P ou Q »se traduit par, au moins l’une des deux est vraie: 1) P vraie, Q faux; 2) Q vraie, P faux; 3) P et Q vraies. On peut aussi résumer dans le tableau de vérité: Fig.2: Tableau de vérité de P Q Négation du «P ou Q » : ⎤P et ⎤Q (Loi de Morgan) USTHB – Fac. Math - 0ct2019 MATH1 - L1- S1_M. BOUMEDIEN-ZIDANI 14 P Q P Q V V V V F V F V V F F F 1. Notions de Logique 3) Connecteurs (ou opérateurs) logiques (suite) uploads/Philosophie/ 1-math1-chap1-logique-ensembles-et-applications.pdf