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La loi du 2 à n degrés de libertés est celle suivie par la somme Xi 2 (∑Xi 2)

La loi du 2 à n degrés de libertés est celle suivie par la somme Xi 2 (∑Xi 2) lorsque les Xi désignent n variables aléatoires normales centrées réduites indépendantes. Sa densité est donnée par : 2 x 1 2 n n e x ) 2 / n ( ) 2 ( 1 ) x (       La probabilité que 2 soit inférieur à un réel a (seuil de probabilité) donné positif est : L'espérance mathématique de la loi du 2 est n, sa variance est 2n. Test du khi-deux et de student Test du khi-deux ou Loi de Pearson si n est un entier positif si non dx e x ) 2 / n ( ) 2 ( 1 ) x ( P n 0 2 x 1 2 n n 2       a  est tabulée 0 ) x (   Avec Г(n) = (n - 1)! Courbe représentative de la densité pour n = 4 Lecture de tables Les tables de la loi 2 font intervenir deux paramètres qui sont le degré de liberté n et le seuil de risque a. a  a n   ) X ( P 2 , Le nombre de degrés de liberté (ddl) est égal au nombre de composantes indépendantes de la statistique du χ2. Le test du chi-deux d'ajustement, ou d'adéquation, qui compare globalement la distribution observée dans un échantillon statistique à une distribution théorique. Le test du chi-deux d'indépendance, qui teste si deux caractères d'une population sont indépendants. Le test du chi-deux d'homogénéité, qui teste si des échantillons sont issus d'une même population. • si χ2 cqlculé ≤χ2 seuil, l’hypothèse H0 ne peut être rejetée: distributions des effectifs théoriques et observés ne sont pas significativement différentes. • si χ2 calculé > χ2 seuil , l’hypothèse H0 est rejetée au seuil de signification α et l’hypothèse H1est acceptée. chi² calculé = somme (Effectif réel - Effectif théorique)² / Effectif Théorique Les tests du chi-deux sont des tests d'hypothèses statistiques non-paramétriques. Ils tirent leur nom du fait que l'on lit l‘écart critique dans la table de la loi du chi-deux. Ils sont essentiellement au nombre de trois : Pour tester si un dé n’est pas truqué, on le jette 150 fois et on note les résultats obtenus : Exemple de calcul de khi – deux d’ajustement 1 2 3 4 5 6 17 26 38 22 25 22 En posant comme hypothèse nulle « le dé n’est pas truqué », on s’attend à ce que les effectifs observés ne diffèrent pas des effectifs théoriques, qui sont 25, 25, 25,…, 25 (150 divisé par 6) On fixe le seuil de significativité à 10% par exemple Le nombre de degrés de liberté est égal à 6 – 1 = 5 Dans notre cas, 10.08 > 9.24, on rejette H0 (et on conclut que le dé est truqué) avec 10 chances sur 100 de se tromper. On travaille à 5%, on lit Χ2 0.95 à ν = 5 : 11.1 et dans ce cas 10.08 < 11.1, on ne rejette pasH0. On lit dans la table que Χ2 0.90 à ν = 5 est 9.24 Il s’agit encore d’une loi dérivée de la loi normale, très utilisée dans les tests statistiques. On considère une première variable aléatoire X, distribuée selon une loi normale centrée réduite, puis une seconde variable Y, indépendante de X, distribuée selon un χ2 à n degrés de liberté. est distribuée selon une loi de Student à n degrés de liberté (ddl), notée t(n). n n y X t  La loi de Student (ou loi de Student-Fisher) est utilisée lors des tests de comparaison de paramètres comme la moyenne et dans l’estimation de paramètres de la population à partir de données sur un échantillon. Soit X une variable aléatoire suivant une loi normale réduite N(0,1) et Y une variable aléatoire suivant une loi de Pearson à n degrés de liberté cn 2 , X et Y étant indépendantes, on dit alors que la variable aléatoire : Loi de Student 2 1 2 2 1 2 ) t 1 ( ) n ( C ) n t 1 ( ) 2 / , 2 / 1 ( B n 1 ) x ( f         n n n n La courbe correspondante est symétrique autour de 0, et converge vers celle de la loi normale lorsque n tend vers l’infini. Cette loi est centrée, mais non réduite : la variance est supérieure à 1. 2 1  n Lorsque n croît, en pratique pour n > 30, la variance peut être prise égale à 1, et la distribution assimilée à celle d’une loi normale centrée réduite. Le seuil a correspond à P( t > t (α:)), c'est-à-dire la probabilité que t égale ou dépasse une certaine valeur critique, définie en fonction du seuil de probabilité et du nombre de degrés de liberté. Attention, le seuil peut être unilatéral ou bilatéral!!! Si le seuil est bilatéral, la notation est la suivante: P(t > t (a/2:n)) Ou : P ( T < - t ) = a /2 = P ( T > t ) On voit que la probabilité est unilatérale. La table de t: n = 24 t(a;24) = 2,492 a unilatérale -------------> a = 0.01 Quelques exemples A) Trouver la probabilité en connaissant les valeurs de t(α:) 1. P(t24 > 2,492) = ? C'est-à-dire: quelle est la probabilité que la valeur de t pour 24 degrés de liberté soit plus grande que 2,492? On voit que la probabilité est unilatérale, mais qu'on cherche la réciproque de la valeur de la table: n = 29 t(a;29) = 1,699 a unilatérale -------------> a = 0.05 -------------> 1 – a = 0,95 2. P(t29 < 1,699) = ? C'est-à-dire: quelle est la probabilité que la valeur de t pour 29 degrés de liberté soit plus petite que 1,699? 3. P(|t15| > 2,947) = ? C'est-à-dire: quelle est la probabilité que la valeur absolue de t pour 15 degrés de liberté soit plus grande que 2,947? a) Probabilité unilatérale ou bilatérale? b) On voit que la probabilité est bilatérale. Table de t: n = 15 t(a;15) = 2,947 a bilatérale -------------> a = 0.01 4. P(t6 > –1,943) = ? C'est-à-dire: quelle est la probabilité que t pour 6 degrés de liberté soit plus grand que –1,943? a) Probabilité unilatérale ou bilatérale? b) On voit que la probabilité est unilatérale, mais qu'il va falloir prendre la réciproque de la valeur a donnée par la table de t: n = 6 t(a ; 6) = –1,943 = 1,943 par symétrie a unilatérale -------------> a = 0.05 -------------> 1 – a = 0,95 5. P(l t22 l> t (α /2:22) ) = 0,05 a) Probabilité unilatérale ou bilatérale? b) On voit que la question est bilatérale. n = 22 a = 0.05 a bilatérale -------------> t (a/2;22) = t (0.025;22) = ± 2,0739 6. P(t30 > t (α : 30) ) = 0,25 a) Probabilité unilatérale ou bilatérale? b) On voit que la question est unilatérale. n = 30 a = 0.25 a unilatérale -------------> t (a;30) = t (0,25;30) = 0,683 7. P(t22 > t (α ;22) ) = 0,95 a) Probabilité unilatérale ou bilatérale? b) On voit que la question est unilatérale. n = 22 a = 0.05 a unilatérale -------------> t(a;22) = t(0.05;22) = 1,717 -------------> t(a;22) = t(0.95;22) = –1,717 8. P(t43 > t ( α ; 43) ) = 0,05 a) Probabilité unilatérale ou bilatérale? Pour une augmentation de 60 – 40 = 20 degrés de liberté, il y a une diminution de 1,684 –1,671 = 0,013 de la valeur de t pour un seuil de 0,05. b) On voit que la question est unilatérale. n = 43 a = 0.05 a unilatérale -------------> 43 n'est pas dans la table de t !!! A) À défaut d’avoir t (0,05:43) nous avons: t(0,05:40) = 1,684 t(0,05:60) = 1,671 Il va donc falloir interpoler! Il faut donc interpoler entre ces valeurs. Comme on doit aller de 40 à 43, il faut donc soustraire 3* 0,00065 = 0,00195 de t(0,05;40) Cela donne: t(0,05;43) = 1,684 – 0,00195 = 1,68205 » 1,682 Chaque degré de liberté de plus occasionne donc une diminution de 0,013/20 = 0,00065 de la valeur de t. uploads/Philosophie/ khi-deux.pdf