Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Ressources mathématiques > Documents pour la math sup > Accéder à mon compte >

Ressources mathématiques > Documents pour la math sup > Accéder à mon compte > Accéder à ma feuille d'exercices > Résumé de cours : bases de la logique Propositions Une proposition (ou assertion) est un énoncé mathématique qui a une et une seule valeur : vrai ou faux. La négation de la proposition est la proposition qui est vraie si et seulement si est fausse. Elle est notée . Si et sont deux propositions, et est la proposition qui est vraie si et seulement si et sont toutes les deux vraies. Si et sont deux propositions, ou est la proposition qui est vraie si et seulement si au moins une des deux propositions ou est vraie. L'implication est la proposition . Pour démontrer , on suppose que est vraie et on démontre que est vraie. On dit que les proposition et sont équivalentes lorsque l'on a à la fois et qui sont vraies. On note alors . Quantificateurs Le quantificateur pour tout ou quel que soit est noté . La proposition est vraie lorsque, pour tout , la proposition est vraie. Le quantificateur il existe (au moins un) est noté . La proposition est vraie lorsqu'il existe au moins un telle que la proposition soit vraie. Le quantificateur il existe un unique est noté . La proposition est vraie lorsqu'il existe un unique telle que la proposition soit vraie. La négation de est . La négation de est . Conditions nécessaires, conditions suffisantes Lorsque , on dit que est une condition suffisante à , et que est une condition nécessaire à . Méthodes de raisonnement par implication : pour prouver que , on suppose que est vraie et on utilise différentes propriétés déjà connues pour établir que est vraie. par double implication / par équivalence : Pour démontrer que , il y a deux méthodes standard : On raisonne par double implication : on suppose d'abord que est vraie, et on démontre que est vraie. Ensuite, on suppose que est vraie, et on démontre que est vraie. On passe de à en utilisant uniquement des équivalences. C'est une méthode souvent déconseillée, car il faut faire très attention à ce que chaque enchaînement logique de la démonstration est bien une équivalence. par contraposée : pour démontrer que , il suffit de démontrer la contraposée de cette proposition, c'est-à-dire . par l'absurde : pour démontrer que , on peut supposer que et sont toutes les deux vraies, et obtenir une contradiction. par récurrence : Le raisonnement par récurrence est utilisé pour démontrer des propriétés qui dépendent d'un entier . Il est basé sur le principe suivant : Théorème (principe de récurrence) : Soit une propriété concernant un entier naturel . On suppose que est vraie et que, pour tout entier naturel , si est vraie, alors est vraie. Alors la propriété est vraie pour tout entier naturel . Pour bien rédiger une démonstration par récurrence, il est nécessaire de faire apparaitre clairement les 4 étapes : définir précisément quelle est la propriété que l'on souhaite démontrer, écrire la phase d'initialisation, la phase d'hérédité, puis la conclusion. Il existe deux erreurs fréquentes de rédaction de la phase d'hérédité. commencer cette phase par la phrase : ``supposons que, pour tout , est vraie et prouvons ''. Si est vraie pour tout entier , il n'y a plus rien à prouver! commencer cette phase par la phrase : ``supposons qu'il existe un tel que est vraie et prouvons . L'erreur est plus subtile. Le principe de récurrence s'écrit formellement La dernière rédaction serait correcte si le principe de récurrence s'écrivait ce qui est faux. Pour ne pas faire d'erreurs, je vous conseille de toujours commencer la phase d'hérédité par : ``Soit tel que est vraie'' ou alors ``Supposons que est vraie pour un certain ''. par récurrence double : si on veut prouver qu'une proposition dépendant de l'entier naturel est vraie pour tout entier , on peut procéder de la façon suivante : initialisation : prouver que et sont vraies. hérédité : prouver que, pour tout entier , si et sont vraies, alors est vraie. par récurrence forte : si on veut prouver qu'une proposition dépendant de l'entier naturel est vraie pour tout entier , on peut procéder de la façon suivante : initialisation : prouver que est vraie. hérédité : prouver que, pour tout entier , si sont toutes vraies, alors est vraie. par disjonction de cas : le raisonnement par disjonction de cas s'utilise quand on veut démontrer une propriété dépendant d'un paramètre appartenant à un ensemble , et que la justification dépend de la valeur de . On écrit alors , et on sépare les raisonnements suivant que , . On emploie fréquemment ce raisonnement pour résoudre des (in)équations avec des valeurs absolues (le raisonnement dépend du signe de la quantité à l'intérieur de la valeur absolue), démontrer des propriétés en arithmétique (on sépare le raisonnement suivant la parité de certains entiers, leur congruence modulo ...), résoudre des problèmes de géométrie (disjonction selon la position relative de deux objets géométriques). par analyse/synthèse : le raisonnement par analyse/synthèse, qu'on pourrait aussi appeler raisonnement par condition nécessaire/condition suffisante, est un raisonnement que l'on emploie souvent lorsqu'on cherche toutes les solutions d'un problème donné. Il comporte deux phases : L'analyse. On suppose que est solution du problème, et on trouve un certain nombre de conditions nécessaires satisfaites par . La synthèse. On vérifie que les conditions obtenues à l'issue de la phase d'analyse sont en fait également suffisantes pour que soit solution du problème. Discussions des forums Comment "aller vers" en Python Dm produit scalaire Fonction n'est pas continue Fonctions entières produit scalaire Matrices et applications … Probabilités Technique pour intégrale … Transport parallèle dans … Hélice sphérique. Chercher un document Série Spectre d'un nombre entier Résolution d'équation raisonnement par récurren … Accéder aux forums Mathématicienne du mois uploads/Philosophie/ bases-de-la-logique44.pdf