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Détermination du coefficient Cp/Cv d’un gaz 1 Introduction ....................

Détermination du coefficient Cp/Cv d’un gaz 1 Introduction ................................................................................................... 1 3 Partie théorique ............................................................................................. 3 3.1 Cp et Cv ...................................................................................................................................... 3 L’équation de Mayer donne une relation entre Cp et Cv : ................................ 3 3.2 Détermination de γ grâce à la méthode de Ruchardt .................................................................. 5 4 Résultats ....................................................................................................... 6 4.1 Paramètres expérimentaux .......................................................................................................... 6 4.2 Coefficients obtenus ................................................................................................................... 6 5 Discussion ..................................................................................................... 7 6 Conclusion .................................................................................................... 7 7 Bibliographie ................................................................................................. 7 Annexe : Mesures obtenues ............................................................................ 8 1 Introduction Le but de cette manipulation est de mesurer le coefficient γ pour l’air, l’argon et le dioxyde de carbone en utilisant la méthode de Ruchardt et celle de Hafner et Duthie. Le coefficient γ est le rapport v p C C des chaleurs spécifiques des gaz, à pression constante Cp et à volume constant Cv. Par chaleur spécifique C on entend la quantité de chaleur ΔQ qu’il est nécessaire d’apporter l’unité de masse d’un matériau donné pour élever sa température de un degré. T m Q c ∆ ∆ = avec [ ]  K Kg J c ⋅ = L’étude des gaz est un domaine important de la thermodynamique. En effet les gaz trouvent des applications techniques importantes grâce à leur capacités de compression et dilatation importante. Ils ont un rôle essentiel dans certains moteurs notamment dans le moteur à explosion et celui de Stirling. Une bonne connaissance des propriétés des gaz peut donc certainement permettre des améliorations techniques importantes. 2 Partie expérimentale Pour cette expérience nous disposons de deux montages. Pour le calcul du coefficient γ de l’air nous utilisons le montage de Ruchardt. Il est composé d’un tube vertical dans lequel peut se mouvoir une bille dont le diamètre est à peine plus petit que le diamètre du tube. Ce tube possède un capuchon à son extrémité supérieure qui empêche des impuretés d’y pénétrer. Par ailleurs, il est relié à un récipient contenant un volume de 10 litres d’air. La jonction entre le tube et le récipient est supposée hermétique. Une vanne sur le côté du récipient permet à se dernier de communiquer avec l’extérieure. L’expérience consiste à ouvrir la vanne du récipient, placer la bille dans le haut du tube et la bloquer à l’aide grâce à une tige d’arrêt puis à refermer la vanne. Ensuite on laisse tomber la bille. Elle va alors commencer à osciller dans le tube. Ses oscillations sont du type amortie. A l’aide d’un chronomètre nous mesurons le temps de dix oscillations. Puis après cette mesure nous recommençons cette procédure, et ceci pour dix mesures. Ce sont ces mesures qui nous permettrons de calculer le coefficient γ de l’air. Pour l’argon et le dioxyde de carbone nous utilisons le dispositif de Hafner et Duthie représentée à la figure 2.2. Ce dispositif est constitué à nouveau d’un tube vertical dans lequel se trouve un piston d’un diamètre très légèrement inférieur à celui du tube. Le haut du tube est à nouveau recouvert d’un capuchon afin d’éviter l’entrée des impuretés. Il est nécessaire de retirer ce capuchon pour l’expérience. Le tube est relié à sphère en verre d’un volume de deux litre. Mais cette fois-ci on introduit le gaz dans la sphère de façon contrôlée grâce à une vanne de précision. Ce gaz va provoquer une élévation du piston dans le tube. Cette élévation va stopper lorsque le piston dépasse un petit orifice dans le tube qui permet au gaz de s’échapper. Ainsi le piston redescend dans le tube jusqu’à qu’une quantité suffisante de gaz inséré dans la sphère le fasse remonter. Le piston prend alors un mouvement de va-et-vient constant dans le tube. Comme les oscillations ne sont pas amorties nous pouvons calculer le temps de cent oscillations afin d’avoir une mesure plus précise de la période d’oscillation. 3 Partie théorique 3.1 Cp et Cv Dans cette partie théorique nous allons simplement mentionner les définitions ainsi que les équations essentielles à notre expérience. Le lecteur intéressé pourra se référer au polycopié mentionné dans la bibliographie pour obtenir le développement mathématique de ces définitions et équations. Dans la théorie nous considérons que le gaz étudié est un gaz parfait. On définit la chaleur spécifique Cv et Cp comme la quantité de chaleur Q nécessaire pour augmenter de 1 degré la température d’une masse de 1 kg de matière respectivement à volume et à pression constante. const V v dT Q m C = = δ 1 (1) const P p dT Q m C = = δ 1 (2) L’équation de Mayer donne une relation entre Cp et Cv : M R C C v p + = (3) M: masse molaire R: constante des gaz parfaits qui vaut       ⋅ = K mol J R 3144 . 8 La chaleur spécifique Cv est directement reliée à l’énergie interne du système et donc à l’énergie cinétique moyenne des molécules du gaz : T mc E U v kin >= = < (4) m : masse du gaz T : température du système Et sachant que l’énergie interne d’un système est donné par RT M m U κ = (5) κ : ½(degré de liberté de la molécule de gaz) Et donc en replaçant (4) dans (5) on obtient que : M R Cv κ = (6) Grâce à l’équation de Mayer nous obtenons Cp : ) 1 ( κ + = M R C p (7) Le coefficient γ est par définition v p C C ce qui correspond à κ κ γ 1 + = (8) On voit donc que le coefficient γ dépend du degré de liberté de la molécule et donc de la forme de celle-ci ! Pour une molécule monoatomique, on la repère par les trois coordonnées (x,y,z). Donc le degré de liberté est trois et donc 2 3 = κ . Ce qui implique que pour un gaz formé de molécules monoatomiques on a pour coefficient γ : 67 . 1 2 3 1 2 3 ≅ + = γ Dans notre expérience l’argon est un gaz monoatomique. Pour une molécule diatomique le degré de liberté est de 5. En effet il nous faut les trois coordonnées(x,y,z) pour repérer le centre de gravité puis encore deux angles pour définir l’orientation. Ceci implique que pour une molécule diatomique on a pour coefficient γ : 4 . 1 2 5 1 2 5 = + = γ Dans notre expérience cela correspond au cas de l’air qui est formé principalement par différentes sortes de gaz diatomiques tels l’azote (N2) et l’oxygène (O2). Pour une molécule polyatomique, le degré de liberté est de 7. Il faut effectivement 3 coordonnée pour le centre de gravité (x,y,z) et encore les trois angles d’Euler. Tout ceci implique que pour un gaz formé de molécules polyatomques la théorie prévoit un coefficient γ : 33 . 1 2 7 1 2 7 ≅ + = γ Dans notre expérience, le dioxyde de carbone correspond à un gaz polyatomique. 3.2 Détermination de γ grâce à la méthode de Ruchardt Lorsque le bille est immobile, la pression à l’intérieur est donnée par : 0 mg P P S = + (9) S : section du tube P : pression du gaz enfermé L’équation de la bille autour de la position d’équilibre est donnée par l’équation différentielle 2 2 d z m SdP dt = (10) z : écart par rapport à la position d’équilibre On suppose que le procédé est adiabatique et donc on peut utiliser la relation constante PV γ = (11) V : volume du gaz enfermé Et donc : dV dP P V γ = − (12) et dV Sz = (13) On injecte (13) dans (12) Sz dP P V γ = − (14) On injecte (14) dans (10) et on obtient l’équation différentielle 2 2 2 d z PS z dt mV γ − = (15) La solution de l’équation différentielle (15) est 2 ( ) cos( ) PS z t A t mV γ ϕ = + (16) A et φ sont des constantes Et la période est 2 2 mV PS τ π γ = (17) Le coefficient γ est donné par l’équation 2 2 2 4 mV S P π γ τ = (18) Le calcul de γ dans l’expérience de Hafner et Duthie procède par le même principe. Pour cette expérience γ est donnée par l’équation suivante : 2 4 64 τ γ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = d p V m (19) d : diamètre du tube 4 Résultats 4.1 Paramètres expérimentaux Voici les paramètres de l’expérience que nous avons utilisés pour le calcul des différents γ. Air Masse de la bille : (1.6578± 0.0001).10-2 kg Diamètre du tube : (1.602± 0.001).10-2 m Volume du ballon : (1.000± 0.001).10-2 m3 Hauteur du tube : (7.00± 0.01).10-1 m Argon Masse du piston : (7.277± 0.001).10-3 kg Diamètre du tube : (1.488± 0.001).10-2 m Volume du ballon : (2.00± 0.01).10-3 m3 Hauteur du tube : (1.7± 0.1).10-1 m Dioxyde carbone Masse du piston : (5.837± uploads/Philosophie/ c-6.pdf