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Chapitre 2 Concepts de base de l’analyse non linéaire des systèmes dynamiques 2

Chapitre 2 Concepts de base de l’analyse non linéaire des systèmes dynamiques 2.1 Introduction Récemment, certaines techniques issues de l’analyse non linéaire des systèmes dynamiques, ont été introduites afin d’expliquer certains phénomènes biologiques et physiologiques. En effet, l’analyse linéaire de ces signaux ne permet d’extraire que quelques informations sur la dynamique des processus biologiques. Ceci est au fait que les phénomènes physiologiques traduisent l’évolution des processus non linéaires. Ces techniques ont été appliquées avec succès dans le domaine de la biologie et de la médecine. Le présent chapitre traite les concepts fondamentaux de l’analyse non linéaire des systèmes dynamiques. En réalité, la compréhension de ces concepts est indispensable afin de mieux comprendre et interpréter les résultats obtenus lorsque ces techniques sont appliquées à des signaux physiologiques tels que le signal ECG, la variabilité du rythme cardiaque et la variabilité de l’intervalle QT. Ce chapitre présente et décrit de définitions. Il s’agit des 43 44 Analyse non linéaire des différents intervalles du signal ECG en vue d’une reconnaissance de signatures de pathologies cardiaques définitions et descriptions du système dynamique, de l’espace des phases, du comportement chaotiques. Ces définitions sont suivies par les descriptions d’un ensemble de paramètres et d’indices qui permettent d’évaluer les systèmes dynamiques. Ces indices seront exploités pour l’analyse non linéaire des différents intervalles du signal ECG. 2.2 Systèmes dynamiques Un système qui évolue dans le temps est qualifié comme étant un système dynamique. Il peut être décrit par un ensemble de variables dont les valeurs changent en fonction du temps [1]. Ces variables sont appelées variables d’état. Autrement dit, les variables d’état sont des variables qui peuvent décrire l’état d’un système dynamique à tout instant t . Un système dynamique peut être décrit par une équation différentielle de la forme suivante (Eq. 2.1) : d ⃗ x dt =⃗ F(⃗ x (t ),α ) (2.1) On peut aussi le représenté par n équations différentielles de la forme (Equ. 2.2) : 45 Concepts de base de l’analyse non linéaire des systèmes dynamiques { d x1 dt =f 1(x1,…., xn,t ,α) . . . d xn dt =f n(x1,…., xn,t ,α) (2.2) ⃗ x (t ) représente le vecteur qui contient les variables d’état et α est un vecteur contenant les paramètres du système. Ces deux représentations sont utilisées pour décrire un système dynamique continu. Dans le cas d’un système discret, on utilise une séquence des valeurs discrètes pour représenter chaque variable d’état (Equ. 2.3) : x→f (x) xn+1=f (xn) (2.3) En effet, les paramètres sont des constantes tandis que les variables d’état changent en fonction du temps. Le choix des variables d’état est primordial. Il dépend énormément du modèle du système dynamique. Une variable d’état d’un modèle donné peut être considérée comme un paramètre dans un autre modèle. Le choix se fait donc selon le modèle du système qu’on veut construire. 46 Analyse non linéaire des différents intervalles du signal ECG en vue d’une reconnaissance de signatures de pathologies cardiaques Pour mieux assimiler ces notions, on prend ; comme premier exemple ; un système constitué d’un ressort ; de raideur k ; attaché à une masse m . Le système subit une force de frottement visqueux ⃗ Ff et une force de rappel ⃗ Fr. Ce système est illustré sur la figure 2.1. Le système masse-ressort peut être décrit par deux variables d’états : la position x (t )de la masse m et sa vitesse ˙ x (t ). Figure 2.1 système masse-ressort Dans le cas de faibles amortissements, la position de la masse x(t) est donnée par équation 2.4 : x (t )=x0e −ξtcos ⁡(ω0t ) (2.4) Avec : x0 : La position initiale ξ :≤coefficient d' ammortissement ω : La pulsation Sachant que la vitesse ˙ x (t )est la dérivée par rapport au temps de la positionx (t ), dans le cas de faibles amortissements, on peut exprimer cette dernière par l’équation 2.5 : 47 Concepts de base de l’analyse non linéaire des systèmes dynamiques ˙ x (t )=v(t)=−x0ω0e −ξtsin ⁡(ω0t) (2.5) Avec : x0 : La positioninitiale ω0 : La pulsation propre ω : La pulsation Pour le système masse-ressort x0 , ξ et ω0 sont considérés comme étant des paramètres. En effet, ce premier exemple représente un système dynamique continu. La population d’une espèce donnée, représente un bon exemple pour un système dynamique discret. Cette population peut être modélisée par une série de la forme [2] (Eq 2.6) : xn+1=β xn(1−xn) (2.6) Avec xn : populationdansl 'année actuelle xn+1 : populationdansl ' année prochaine β :taux de croissance 48 Analyse non linéaire des différents intervalles du signal ECG en vue d’une reconnaissance de signatures de pathologies cardiaques Ce système, très simple, permet de modéliser le fait que si la population est faible alors elle va augmenter, mais si la population est trop importante elle va manquer de ressources alimentaires et par conséquence elle diminue. 2.3 Type des systèmes dynamiques 2.3.1 Système linéaire et système non linéaire Un système dynamique est dit linéaire s’il satisfait au principe de la superposition. Ce principe est illustré sur la figure 2.2. Supposons qu’une excitation e1(t) à l’entrée du système donne une réponse s1 (t) à sa sortie, et qu’une autre excitation e2(t) engendre une réponse s2 (t) . Le système est considéré comme linéaire si l’excitation [ae¿¿1 (t )+be2(t )]¿ produit la réponse [as¿¿1(t )+bs2 (t )]¿. 49 Concepts de base de l’analyse non linéaire des systèmes dynamiques Figure 2.2. Principe de superposition Par contre, un système qui ne satisfait pas à ce principe est désigné come étant un système non linéaire. Lorsque le système est non linéaire, une faible variation de l’entrée peut produire une forte variation de la sortie tandis qu’une forte excitation à l’entrée engendre une faible variation de cette dernière [3]. 2.3.2 Système déterministe et système stochastique Un système peut être aussi classifié comme déterministe ou stochastique. Le système est dit déterministe si son état actuel (à l’instant t n¿est déterminé à partir de son état précédent (à l’instantt n−1¿. Autrement dit, dans le cas d’un système déterministe, lorsqu’on sait les valeurs des variables d’état ainsi les interactions entre ces variables à l’instant t n , on peut 50 Analyse non linéaire des différents intervalles du signal ECG en vue d’une reconnaissance de signatures de pathologies cardiaques déterminer l’état du système à l’instantt n+1. Ceci implique que lorsqu’on connait l’état initial (à l’instantt 0¿, on peut déterminer l’état du système à tout instantt . Contrairement au système déterministe, un système stochastique (aléatoire) est un système dont son état suivant ne peut pas être déterminé à partir des états précédents. 2.4 Espace des phases 2.4.1 Définition L’espace des phases est un espace mathématique. L’état du système est représenté par un point unique dans cet espace. Autrement dit, l’état du système à l’instant t est représenté par un vecteur qui contient les valeurs des variables d’état à cet instant. Si Dvariables d’état sont utilisées pour décrire le système alors ce dernièr est représenté dans un espace euclidien R D. Puisque l’état du système évolue au cours du temps, les états possibles d’un système seront représentés par un ensemble des points dans cet espace. Dans l’exemple cité dans le paragraphe précédent, nous avons dit que le système masse ressort peut être représenté par deux variables d’état : la position de la masse et sa vitesse. Notre espace des phases serait donc un espace euclidien R 2(figure 2.3- b). Le premier axe de cet espace représente les variations de la position de la masse tandis que le deuxième axe représente l’évolution de sa vitesse. Un autre exemple d’un système dynamique est le circuit de Chua 51 Concepts de base de l’analyse non linéaire des systèmes dynamiques (Fig 2.4). On note par V 1,V 2 et I la tension aux bornes de la capacitéC1, la tension aux bornes de la capacité C2 et le courant traversant l’inductance L, respectivement. En utilisant la loi des nœuds, on obtient trois équations différentielles décrivant ce circuit (Eq 2.7) : { C1 d V 1 dt =(V 1−V 2) R −f (V 1) C2 d V 2 dt =−(V 1−V 2) R +I L dI dt =−rI−V 2 (2.7) f (V 1) est une fonction qui représente le courant circulant dans la partie du circuit située à droite de la capacitéC1. Selon [5] et [6], le modèle du circuit de Chua peut être simplifié en écrivant l’équation 2.7 sous la forme suivante (Equ. 2.8) : { ˙ x=α ( y−x)−α f (x) ˙ y=(x−y+z ) ˙ z=−(βy+γz) (2.8) 52 Analyse non linéaire des différents intervalles du signal ECG en vue d’une reconnaissance de signatures de pathologies cardiaques Avec { ˙ x=d V 1 dt ˙ y=dV 2 dt ˙ z=dI dt (2.9) La fonction 1 f (x) peut s’écrire sous la forme [6] (Equ. 2.10): f (x )=m1 x+ 1 2 (m0−m1) (|x+1|−|x−1|)+ 1 2 (s−m0)(|x+δ 0|−|x−δ 0|) (2.10) Cette fonction caractérise la partie non linéaire du circuit de Chua (diode de Chua). α , β , γ , m0 et m1 représentent uploads/Philosophie/ chapitre-002.pdf