Chapitre4 Les systèmes linéaires Dans ce chapitre, le comportement des systèmes

Chapitre4 Les systèmes linéaires Dans ce chapitre, le comportement des systèmes dynamiques linéaires sera exploré. Les dé nitions essentielles seront présentées à la première section. Ensuite, on verra comment calculer la réponse d'un système linéaire à une excitation et à des conditions initiales données. La notion fondamentale de fonction de transfert fera alors son apparition. Puis, le concept de stabilité des systèmes, qui est absolument indispensable dans l'étude des asservissements, sera alors détaillé. Le chapitre se terminera par l'étude de la réponse en régime permanent des systèmes à une excitation sinusoïdale, qui est appelée la réponse en fréquences. 4.1 Dé nitions Un système dynamique est un appareil formé de diérents éléments constituant un en- semble qui permet de remplir une fonction donnée et dont l'évolution dans le temps est dé- terminée par une série de lois physiques déterministes. Un moteur électrique, par exemple, est composée de plusieurs pièces et permet de transformer l'énergie électrique en énergie mécanique. Son comportement dans le temps s'explique par des lois électriques, électroma- gnétiques et mécaniques. On se limite pour l'instant aux systèmes continus et monovariables (à une entrée et une sortie). Un tel système Lc est une règle qui fait correspondre au signal continu d'entrée u(t) (l'excitation) le signal continu de sortie y(t) (la réponse) : y(t) = Lc [u(t)] (4.1) La gure 4.1 est un diagramme fonctionnel du système. Sur les diagrammes fonctionnels, les signaux sont représentés par des èches et les systèmes par des rectangles. 15 16 Chap. 4. Les systèmes linéaires u(t) y(t) Lc Figure 4.1  Le diagramme fonctionnel du système Lc -2 0 2 4 6 8 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Temps t Entr4 ee u1(t) -2 0 2 4 6 8 10 0 0.5 1 1.5 2 Temps t Sortie y1(t) Figure 4.2  L'entrée et la sortie d'un système continu La gure 4.2 montre un exemple d'un signal d'entrée et un signal de sortie d'un système continu. Dans l'exemple du moteur, le signal d'entrée peut être la tension appliquée au moteur et le signal de sortie est la vitesse de rotation de l'arbre du moteur. La majorité des systèmes étudiés dans cet ouvrage sont invariants dans le temps, linéaires et causaux. Le système Lc est invariant dans le temps si décaler l'entrée de t0 unités de temps a pour eet de décaler de la même façon la sortie : y(t−t0) = Lc [u(t −t0)]. L'invariance est représentée à la gure 4.3. De façon imagée, on peut dire que le système ne sait pas quelle heure il est. Le signal d'entrée u(t) est causal si u(t) = 0 pour t < 0, Le système Lc est causal si pour une entrée causale on obtient une sortie y(t) causale. Le système est linéaire si le principe de superposition linéaire s'applique. Si les réponses du système linéaire à diérentes entrées sont y1(t) = Lc [u1(t)], y2(t) = Lc [u2(t)], . . ., yn(t) = Lc [un(t)], alors la réponse à l'excitation u(t) = α1u1(t) + α2u2(t) + . . . + αnun(t), où les symboles αi représentent des constantes, est : y(t) =Lc [α1u1(t) + α1u1(t) + . . . + αnun(t)] =α1y1(t) + α2y2(t) + . . . + αnyn(t) (4.2) La gure 4.4 illustre ce principe où u4(t) est la somme de u1(t) ( gure 4.2) et u3(t) ( - gure 4.3). La sortie résultante, y4(t), est alors la somme de y1(t) ( gure 4.2) et y3(t) ( - gure 4.3). 4.1. Dé nitions 17 -2 0 2 4 6 8 10 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 Temps t Entr4 ee u2(t) -2 0 2 4 6 8 10 -2 -1.5 -1 -0.5 0 Temps t Sortie y2(t) -2 0 2 4 6 8 10 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 Temps t Entr4 ee u3(t) u3(t) = u2(t ! 2) -2 0 2 4 6 8 10 -2 -1.5 -1 -0.5 0 Temps t Sortie y3(t) y3(t) = y2(t ! 2) Figure 4.3  Invariance temporelle -2 0 2 4 6 8 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Temps t Entr4 ee u4(t) u4(t) = u1(t) + u3(t) -2 0 2 4 6 8 10 0 0.5 1 1.5 2 Temps t Sortie y4(t) y4(t) = y1(t) + y3(t) Figure 4.4  Superposition linéaire 18 Chap. 4. Les systèmes linéaires Selon le raisonnement précédent, si la réponse d'un système linéaire à l'excitation u1(t) est y1(t) = Lc [u1(t)], alors celle à l'entrée u2(t) = αu1(t) sera y2(t) = αy1(t). Par contre, avec n'importe quel système réel, si α prend une trop grande valeur, le principe de superposition ne sera pas parfaitement respecté. À la limite, lorsqu'α est très grand, il y aura saturation dans le système ou le système peut même subir des bris. Il est aussi courant de rencontrer des systèmes dont les réponses ne sont pas symétriques pour des valeurs positive et négative d'α (même si |α| est relativement petit). Aucun système réel n'est donc parfaitement linéaire. Cependant, le comportement d'une majorité de systèmes s'apparente à celui d'un système linéaire quand les excursions autour du point d'opération ne sont pas trop importantes (i.e. quand α n'est pas trop élevé). Par conséquent, il est possible d'utiliser la théorie des systèmes linéaires pour résoudre la plupart des problèmes de commande automatique. On constate d'ailleurs qu'environ 95% des régulateurs utilisés en industrie sont linéaires (plus particulièrement du type PID décrit à la section 14.1 [2]. 4.2 La fonction de transfert et la réponse à une entrée quel- conque 4.2.1 La représentation d'un système par une équation diérentielle Le comportement d'un système linéaire, monovariable, continu, invariant dans le temps et causal est régi par une équation diérentielle ordinaire à coe cients constants : any(n)(t) + . . . + a1y′(t) + a0y(t) = bmu(m)(t) + . . . + b1u′(t) + b0u(t) (4.3) Le système est dit d'ordre n. En pratique, pour un système physique, on aura m ≤n. Pour éventuellement calculer y(t) pour une entrée u(t) quelconque, les n + m conditions initiales suivantes doivent être connues : y(0+) =y0, y′(0+) = y′ 0, . . . , y(n−1)(0+) = y(n−1) 0 u(0+) =u0, u′(0+) = u′ 0, . . . , u(m−1)(0+) = u(m−1) 0 (4.4) Deux exemples de modélisation de systèmes simples par une équation diérentielle sont maintenant présentés. Exemple 4.1 (Un réseau RL). La gure 4.5 montre un réseau RL. Le signal d'entrée est la tension u(t) (volts) fournie par la source et la sortie considérée est le courant y(t) (ampères) parcourant le circuit. Selon les lois de Kirchho, la somme des tensions le long de la maille 4.2. La fonction de transfert et la réponse à une entrée quelconque 19 R L u(t) y(t) + - Figure 4.5  Un réseau RL u(t) y(t) V1 V2 Fe(t) Fs(t) Figure 4.6  Un réservoir donne : u(t) = Ry(t) + Ly′(t) (4.5) Dans les exemples qui suivent, on prendra R = 6 Ωet L = 0.5 H. ⊠ Exemple 4.2 (Un réservoir). Le procédé étudié est le réservoir de section transversale A m2 illustré à la gure 4.6. L'entrée est l'ouverture de la vanne V1 en pourcentage. On suppose que le débit d'eau (m3/h) alimentant le réservoir est proportionnelle à l'ouverture de la vanne : Fe(t) = k1u(t) (4.6) Le liquide s'écoule par gravité au travers la vanne V2 dont l'ouverture est maintenue constante. Le niveau de liquide dans le réservoir est y(t) m. Une approximation valable pour de petites variations du niveau de liquide par rapport à son point initial est que le débit de sortie (m3/h) est proportionnel à la hauteur du liquide : Fs(t) = k2y(t) (4.7) Un simple bilan d'eau permet d'écrire l'équation diérentielle recherchée. La variation du 20 Chap. 4. Les systèmes linéaires volume d'eau dans le réservoir est simplement la diérence entre le volume d'eau par unité de temps qui entre dans le réservoir moins celui qui en sort : Ay′(t) =Fe(t) −Fs(t) =k1u(t) −k2y(t) (4.8) Les valeurs numériques utilisées par la suite sont : A = 0.1 m × 0.5 m = 0.05 m2, k1 = 7.5 · 10−6 m3/(s·%) et k2 = 5 · 10−4 m2/s. ⊠ 4.2.2 Le calcul de la réponse d'un système Connaissant l'équation diérentielle du système (équation 4.3) et les conditions initiales (équation 4.4), l'objectif est de trouver l'expression de la réponse y(t), pour t > 0, en connaissant l'excitation u(t), pour t > 0. On note que la connaissance de u(t) pour t > 0 implique celle de u(0+), u′(0+), etc. Les étapes pour calculer la réponse sont : 1. Calculer la transformée de Laplace de l'équation diérentielle du système en utilisant les théorèmes de dérivation 3.14 et 3.17. 2. Isoler Y (s). 3. Déduire y(t), la transformée inverse de Y (s). Ces étapes sont illustrées à la gure 4.7. La èche pointillée indique qu'il serait bien entendu également possible de résoudre l'équation diérentielle directement dans le domaine temporel. Exemple 4.3 (La réponse du réseau RL à une entrée constante et à une condition initiale). Le système uploads/Philosophie/ chapitre-4 1 .pdf

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