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CPGE IBN ABDOUNE 2011-2012 MPSI 1,2 - DS n° 1 - Samedi 24 Septembre 2012 de 8h

CPGE IBN ABDOUNE 2011-2012 MPSI 1,2 - DS n° 1 - Samedi 24 Septembre 2012 de 8h à 10h Vous êtes invités dans ce devoir (que dans autres) à porter une attention particulière à la propreté et à la clarté de votre copie . Et pour vous encourager je vais noter la rédaction sur 4 points. N.B. Les trois exercices et le problème sont indépendants. _____________________________________________________________________ Exercice 1 : ( Un peu de logique ) 4pts 1)- Quelle est la négation de la proposition : [ ] , / , , ( ) M a x a a f x M + + ∀ ∈ ∃∈ ∀∈− . 1pt 2)- La proposition suivante est elle vraie ? Justifier : ( ) * , , 0 z z z ε ε + ∀∈ ∀∈ = . 2pts 3)- Soit : f → une fonction. Exprimer que f s'annule au plus une fois, à l'aide des quantificateurs. 1pt _____________________________________________________________________ Exercice 2 : ( Récurrence ) 6pts 1)- Montrer que : * 1 1 1 , 2 n k n n k = ∀∈ ≥ + . 2pts 2)- Montrer que : , 2m m m ∀ ∈ ≤ . 1pt 3)- en déduire que : 2 1 1 , 2 m k m m k = ∀ ∈ ≥ . 3pts _____________________________________________________________________ Exercice 3 : ( Une relation d'équivalence ) 4pts Considérons sur la relation binaire définie par : 2 2 2 ( , ) , 7 7 0 x y x y x y x y ∀ ∈ ⇔ − − + = . 1)- Montrer que est une relation d'équivalence sur . 2pts 2)- Déterminer l'ensemble des classes d'équivalence de . 2pts _____________________________________________________________________ Problème : (Théorème de CANTOR-BERNSTEIN) 22pts Le but de ce problème est montrer le théorème de CANTOR-BERNSTEIN qui dit : " Pour deux ensembles non vides, s'il existe une injection du premier dans le deuxième et une autre du deuxième dans le premier alors il y a une bijection entre les deux. " Dans tout le problème E et F deux ensembles non vides, f une injection de E dans F et g une injection de F dansE . On démontrera l'existence d'une bijection de E dans F , Pour cela on définit les deux suites : ( ) ( ) n n A P E ∈∈ et ( ) ( ) n n B P F ∈∈ par les récurrentes suivantes : 0 \ ( ) A E g F = , , ( ) n n n B f A ∀∈ = , * 1 , ( ) n n n A g B − ∀∈ = . I)- Supposons que : 0 A = ∅ 1)- Montrer que g est bijective. 1pt 2)- Conclure. 1pt 1/2 II)- Supposons que : 0 A ≠∅. 1)- Montrer que : , n n A ∀∈ ≠∅ et n B ≠∅ . 1pt 2)- En déduire que les ensembles : n n A A ∈ = et : n n B B ∈ = ne sont pas vides. 1pt 3)- Montrer que : , ( ) a A f a B ∀∈ ∈ . 2pts 4)- Considérons l'application * : ( ) A B f a f a → . Montrer que * f est bijective. 2pts 5)- Supposons dans cette question que : B F C = ∅. a)- Montrer que : A E C = ∅. 1pt b)- Conclure. 1pt 6)- Maintenant on va supposer que : B F C ≠∅. a)- Construire une injection de B F C dans A E C à partir de g .On la note * g . 2pts b)- Soit l'application ( ) ( ) ( ) * 1 * , : , A E E F f x x A x g x x C ϕ − → ∈ ∈ . Montrer qu'elle est bijective. 3pts c)- Conclure. 1pt III)- Application: En considérant les applications suivantes: : n n θ → et 2 , 0 : 2 1, 0 k k k k k π → ≥ + < Montrer qu'il existe une bijection entre et (On dit qu'ils sont équipotents). 2pt IV)- Une dernière question: Soient G un ensemble non vide et une relation binaire sur { } ( ) \ P G ∅ définie par: { } ( , ) ( ) \ , X Y P G X Y ∀ ∈ ∅ ⇔ il existe une injection de X dans Y . 1)- Cette relation est-elle réflexive? Transitive? 2pts 2)- est-elle une relation d'ordre? 2pts FIN 2/2 uploads/Philosophie/ ds-n0-1-enonce.pdf