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Avertissement Ce document n’est pas un cours de mathématiques. Ces « notes de c

Avertissement Ce document n’est pas un cours de mathématiques. Ces « notes de cours » reprennent les résultats essentiels énoncés en cours magistral. On sera attentif au fait que les résultats y sont donnés sans justiﬁcation et que les exemples n’y sont pas détaillés. Pour tout complément, nous renvoyons le lecteur à l’ouvrage suivant (dans lequel il trouvera une présentation détaillée des résultats cités ici, de nombreux exemples et mises en garde, ainsi que des exercices corrigés) : Algèbre et Analyse Cours de Mathématiques de Première Année avec Exercices Corrigés Stéphane Balac, Frédéric Sturm Presses Polytechniques et Universitaires Romandes Collection Sciences Appliquées de l’INSA de Lyon - 1046 pages - 2003 - Prix public : 55,00 EUR - S. Balac, Pôle de Mathématiques, INSA de Lyon Cours de Mathématiques Première Année INTRODUCTION A LA THÉORIE DES ENSEMBLES ET A LA LOGIQUE MATHÉMATIQUE S. Balac, Pôle de Mathématiques, INSA de Lyon Cours de Mathématiques Première Année 1. Notion de base de théorie des ensembles S. Balac, Pôle de Mathématiques, INSA de Lyon Cours de Mathématiques Première Année 1.1. Généralités sur les ensembles S. Balac, Pôle de Mathématiques, INSA de Lyon Cours de Mathématiques Première Année On peut déﬁnir de manière intuitive un ensemble comme la réunion dans une même entité de certains objets bien déterminés. On appelle ces objets les éléments de l’ensemble. Si x désigne l’un des éléments de l’ensemble E, on dit que x appartient à E et on note x ∈E. Si x n’est pas l’un des éléments de l’ensemble E, on dit que x n’appartient pas à E et on note x / ∈E. S. Balac, Pôle de Mathématiques, INSA de Lyon Cours de Mathématiques Première Année Exemple 1 Ensembles usuels en mathématiques : N : ensemble des entiers naturels. N∗: ensemble des entiers naturels non nuls. Z : ensemble des entiers relatifs. Q : ensemble des nombres rationnels. R : ensemble des nombres réels. R+ : ensemble des nombres réels positifs. S. Balac, Pôle de Mathématiques, INSA de Lyon Cours de Mathématiques Première Année Un ensemble peut être décrit de 2 manières : 1 en extension : on dresse la liste de tous les éléments de l’ensemble. Exemple : E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. L ’ordre ainsi que la répétition des éléments est sans importance. 2 en compréhension : on énonce la propriété caractéristique des éléments de l’ensemble. Exemple : E = {x ∈N | 1 ⩽x ⩽9}. Attention, écrire E = {1, 2, . . . , 8, 9} est incorrect. S. Balac, Pôle de Mathématiques, INSA de Lyon Cours de Mathématiques Première Année On peut représenter graphiquement un ensemble à l’aide d’un diagramme de Venn. S. Balac, Pôle de Mathématiques, INSA de Lyon Cours de Mathématiques Première Année Déﬁnition 1 Un ensemble E est dit ﬁni lorsque le nombre d’éléments qui le composent est un entier naturel. Dans ce cas, le nombre d’éléments est appelé cardinal de l’ensemble et est noté card(E) ou #E. S. Balac, Pôle de Mathématiques, INSA de Lyon Cours de Mathématiques Première Année Remarques Un ensemble qui n’est pas ﬁni est dit inﬁni. On appelle singleton un ensemble composé d’un seul élément. L ’ensemble vide est l’ensemble qui ne contient aucun élément. On le note ∅. Par convention, card(∅) = 0. S. Balac, Pôle de Mathématiques, INSA de Lyon Cours de Mathématiques Première Année 1.2. Sous-ensembles S. Balac, Pôle de Mathématiques, INSA de Lyon Cours de Mathématiques Première Année Déﬁnition 2 Soient A et B deux ensembles. On dit que A est inclus dans B et on note A ⊂B si tout élément de A appartient à l’ensemble B. L ’ensemble A est alors qualiﬁé de partie ou de sous-ensemble de l’ensemble B. Pour signiﬁer que A n’est pas inclus dans B, on note A ⊂ \B. S. Balac, Pôle de Mathématiques, INSA de Lyon Cours de Mathématiques Première Année Remarques Pour que l’ensemble A ne soit pas inclus dans B, il faut et il sufﬁt qu’il existe un élément de A qui n’appartienne pas à B (par exemple N ⊂ \R∗). L ’ensemble vide est inclus dans tout ensemble. Un ensemble est inclus dans lui-même. S. Balac, Pôle de Mathématiques, INSA de Lyon Cours de Mathématiques Première Année PROPOSITION 1 La relation d’inclusion est une relation transitive : si A, B, C désignent trois ensembles tels que A ⊂B et B ⊂C alors on a A ⊂C. S. Balac, Pôle de Mathématiques, INSA de Lyon Cours de Mathématiques Première Année Déﬁnition 3 Soient A et B deux ensembles. On dit que les ensembles A et B sont égaux et on note A = B si tout élément de l’un des ensembles appartient à l’autre ensemble. Autrement dit, A = B signiﬁe que A ⊂B et B ⊂A. S. Balac, Pôle de Mathématiques, INSA de Lyon Cours de Mathématiques Première Année PROPOSITION 2 Soient A et B deux ensembles ﬁnis. 1 Si A ⊂B alors card(A) ⩽card(B). 2 Si A ⊂B et si card(A) = card(B) alors A = B. S. Balac, Pôle de Mathématiques, INSA de Lyon Cours de Mathématiques Première Année Exemple 2 Soient A = {x ∈R | x2 −3x +2 = 0} et B = {1, 2}. On a A = B. S. Balac, Pôle de Mathématiques, INSA de Lyon Cours de Mathématiques Première Année Déﬁnition 4 Soit E un ensemble. Les sous-ensembles de E déﬁnissent un ensemble appelé ensemble des parties de E et noté P(E). Il y équivalence entre les assertions A ∈P(E) et A ⊂E. S. Balac, Pôle de Mathématiques, INSA de Lyon Cours de Mathématiques Première Année Remarques P(E) contient toujours ∅et E. Attention, les éléments de P(E) sont des sous-ensembles de E et non pas des éléments de E. S. Balac, Pôle de Mathématiques, INSA de Lyon Cours de Mathématiques Première Année Exemple 3 Si E = {a, b, c} alors P(E) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}. Est-on certain d’avoir énuméré tous les éléments de P(E) ? Oui, car . . . S. Balac, Pôle de Mathématiques, INSA de Lyon Cours de Mathématiques Première Année PROPOSITION 3 Soit E un ensemble ﬁni de cardinal n. L ’ensemble P(E) des parties de E est de cardinal 2n. S. Balac, Pôle de Mathématiques, INSA de Lyon Cours de Mathématiques Première Année 1.3. Opérations sur les ensembles S. Balac, Pôle de Mathématiques, INSA de Lyon Cours de Mathématiques Première Année Déﬁnition 5 Soient E un ensemble et A, B deux sous-ensembles de E. La réunion des 2 ensembles A et B notée A ∪B est l’ensemble constitué par les éléments de E appartenant à A ou à B. Autrement dit A ∪B = {x ∈E | x ∈A ou x ∈B}. S. Balac, Pôle de Mathématiques, INSA de Lyon Cours de Mathématiques Première Année On a les propriétés suivantes : 1 A ⊂(A ∪B) et B ⊂(A ∪B). 2 A ∪A = A et A ∪∅= A. 3 A ∪B = B ∪A (commutativité de l’union). 4 A ∪(B ∪C) = (A ∪B) ∪C (associativité de l’union). 5 Si A ⊂B alors A ∪B = B. S. Balac, Pôle de Mathématiques, INSA de Lyon Cours de Mathématiques Première Année Déﬁnition 6 Soient E un ensemble et A, B deux sous-ensemble de E. L ’intersection des 2 ensembles A et B notée A ∩B est l’ensemble constitué par les éléments de E appartenant à A et à B.Autrement dit A ∩B = {x ∈E | x ∈A et x ∈B}. Si A ∩B = ∅, on dit que les ensembles A et B sont disjoints. S. Balac, Pôle de Mathématiques, INSA de Lyon Cours de Mathématiques Première Année On a les propriétés suivantes : 1 (A ∩B) ⊂A et (A ∩B) ⊂B. 2 A ∩A = A et A ∩∅= ∅. 3 A ∩B = B ∩A (commutativité de l’intersection). 4 A ∩(B ∩C) = (A ∩B) ∩C (associativité de l’intersection). 5 Si A ⊂B alors A ∩B = A. S. Balac, Pôle de Mathématiques, INSA de Lyon Cours de Mathématiques Première Année PROPOSITION 4 Soient A et B deux ensembles ﬁnis. On a card(A ∪B) = card(A) + card(B) −card(A ∩B). S. Balac, Pôle de Mathématiques, INSA de Lyon Cours de Mathématiques Première Année PROPOSITION 5 Soient A, B et C trois ensembles. L ’intersection est distributrice sur l’union : A ∩(B ∪C) = (A ∩B) ∪(A ∩C). L ’union est distributrice sur l’intersection : A ∪(B ∩C) = (A ∪B) ∩(A ∪C). S. Balac, Pôle de Mathématiques, INSA de Lyon Cours de Mathématiques Première Année Déﬁnition 7 Soient A, B deux sous-ensembles d’un ensemble E. On appelle différence des ensembles A et B, et on note A \ B, l’ensemble constitué des éléments de A qui n’appartiennent pas à B. Autrement dit, A \ B = {x ∈E | x ∈A et x / ∈B}. S. Balac, Pôle de Mathématiques, INSA de Lyon Cours de Mathématiques Première Année Déﬁnition 8 Soient E un ensemble et A un sous uploads/Philosophie/ m-1-vis-1-www.pdf