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Chapitre 1 Éléments de logique Sommaire I Notions ensemblistes . . . . . . . .

Chapitre 1 Éléments de logique Sommaire I Notions ensemblistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1) Vocabulaire lié aux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 II Notions de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1) Propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2) Connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4) Quantiﬁcateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 5) Retour sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 III Le raisonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1) Raisonnement par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2) Raisonnement par analyse-synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3) Démontrer une implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4) L’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5) La récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 IV Solution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 I NOTIONS ENSEMBLISTES 1) Vocabulaire lié aux ensembles Nous ne déﬁnirons pas rigoureusement la notion d’ensemble, celle-ci sera considérée comme intuitive. Nous nous contenterons de la « déﬁnition » suivante : Un ensemble E est une collection d’objets 1, ceux-ci sont appelés éléments de E. Si x est un élément de E on écrira x ∈E (se lit « x appartient à E »), dans le cas contraire on écrira x ∉E. Si E n’a pas d’éléments on dira que c’est l’ensemble vide et on le notera ∅. Deux ensembles E et F sont dits égaux si et seulement si ils ont les mêmes éléments, on écrira alors E = F. Déﬁnition 1.1 ZExemples : – Les ensembles de nombres : N, Z, D, Q, R, C. – L’ensemble des fonctions de R dans R : F(R,R). – Ensembles déﬁnis en extension, comme : E = {1;8;6;2} (éléments non ordonnés et devant apparaître une seule fois dans la liste). – Ensembles déﬁnis en compréhension, comme : E = © p ∈N ¯ ¯p est impair ª = {2k +1|k ∈N}. 1. Cependant toute collection d’objets ne constitue pas forcément un ensemble. Par exemple, le paradoxe de Bertrand Russel a montré que l’ensemble des ensembles ne peut pas exister, sinon, la considération de l’ensemble y = {x |x ∉x} conduit à une absurdité. MPSI3 (2018-19) LYCÉE MONTAIGNE – 1 – ©Fradin Patrick – Notions ensemblistes Chapitre 1 : Éléments de logique L’écriture E = © p ∈N ¯ ¯p est impair ª ne signiﬁe pas que E est un ensemble qui contient un seul élément qui s’appelle p, mais que E est l’ensemble de tous les entiers naturels p tels que p est impair, en langage courant on dit plutôt que E est l’ensemble de tous les entiers naturels impairs. Dans le langage mathématique, il faut donner un nom à ces entiers (variable muette, ici p) pour pouvoir ensuite les manipuler ou les décrire. Attention! Soient A et B deux ensembles : – L’inclusion : on dit que A est inclus dans B tous les éléments de A sont également éléments de B, notation : A ⊂B. – Ensemble des parties : si A est inclus dans B, on dit que A est une partie de B. L’ensemble des parties de B est noté P (B), donc écrire « A ⊂E » revient à écrire « A ∈P (B) ». Par exemple, l’ensemble vide et B sont des parties de B, donc ∅∈P (B) et B ∈P (B). – La réunion : on note A ∪B (se lit « A union B »), l’ensemble que l’on obtient en regroupant les éléments de A avec ceux de B, par exemple {2k +1|k ∈Z}∪{2n |n ∈Z} = Z. – L’intersection : on note A ∩B (se lit « A inter B »), l’ensemble des éléments communs à A et B. Par exemple N∩Z∗= N∗. On dit que deux ensembles sont disjoints lorsque leur intersection est l’ensemble vide. – La différence : on note A\B (se lit « A moins B »), l’ensemble des éléments qui sont dans A mais pas dans B. Par exemple, R+ = R\]−∞;0[. – Le complémentaire d’une partie : lorsque A est une partie de B, la différence B\A est appelé com- plémentaire de A dans B, noté CB(A) (ou bien A). Par exemple R\Q est l’ensemble des irrationnels. – Le produit cartésien : le produit cartésien de A par B est l’ensemble des couples (x; y) avec x ∈A et y ∈B, on le note A×B, c’est à dire A×B = © (x; y) ¯ ¯x ∈E, y ∈F ª . On rappelle que (x; y) = (a;b) si et seulement si x = a et y = b. Attention à ne pas confondre un couple avec une paire (ensemble à deux éléments), par exemple : {1;2} = {2;1}, mais (1;2) ̸= (2;1). Déﬁnition 1.2 B A A ⊂B B A A ̸⊂B A B A∪B A B A∩B MPSI3 (2018-19) LYCÉE MONTAIGNE – 2 – ©Fradin Patrick – Notions de logique Chapitre 1 : Éléments de logique A B A\B B A CB(A) ⋆Exercice 1.1 Décrire P (E) lorsque E = {1;2;3}. Remarque 1.1 : – Dire que deux ensembles A et B sont égaux, revient à dire que A est inclus dans B, et que B est inclus dans A. Donc démontrer une égalité entre deux ensembles, peut se faire en démontrant une double inclusion. – Le produit cartésien se généralise à trois ensembles ou plus généralement à n ensembles : E1 ×···×En = {(x1,...,xn)|x1 ∈E1,...,xn ∈En} Lorsque tous les ensembles sont égaux au même ensemble E, on note E × ··· × E = En (ensemble des n-listes, ou n-uplets d’éléments de E). uploads/Philosophie/ elements-de-logique-cours.pdf