INTRODUCTION AU CALCUL DES VARIATIONS Bernard Dacorogna avec 128 exercices corr

INTRODUCTION AU CALCUL DES VARIATIONS Bernard Dacorogna avec 128 exercices corrigés 2e édition revue et augmentée Introduction au Calcul des Variations Bernard Dacorogna iv Table des matières Préface à la deuxième édition française xi 0 Introduction 1 0.1 Quelques commentaires historiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0.2 Le problème modèle et quelques exemples . . . . . . . . . . . . . 3 0.3 Présentation du contenu de l’ouvrage . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1 Préliminaires 13 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 Espaces de Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.1 Notations et espaces de fonctions continues . . . . . . . . 14 1.2.2 Fonctions Hölder continues . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3 Espaces Os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.1 Dé nitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.2 Convergence faible et théorème de Riemann-Lebesgue . . 22 1.3.3 Le lemme fondamental du calcul des variations . . . . . . 27 1.3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.4 Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.4.1 Dé nitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . 30 1.4.2 Quelques propriétés supplémentaires . . . . . . . . . . . . 34 1.4.3 Théorèmes d’immersion et d’immersion compacte . . . . . 40 1.4.4 Extension de fonction dans les espaces de Sobolev . . . . 43 1.4.5 Inégalité de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.4.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.5 Analyse convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 1.5.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 v vi TABLE DES MATIÈRES 2 Les méthodes classiques 57 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.2 Equation d’Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.2.1 Le théorème principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.2.2 Quelques cas particuliers importants . . . . . . . . . . . . 62 2.2.3 Le phénomène de Lavrentiev . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.3 Deuxième forme de l’équation d’Euler-Lagrange . . . . . . . . . . 73 2.3.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.4 Formulation hamiltonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.4.1 Un lemme technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.4.2 Le théorème principal et quelques exemples . . . . . . . . 79 2.4.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.5 Equation de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.5.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 2.6 Théories des champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.6.1 Un cas simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 2.6.2 Champs exacts et théorème de Hilbert . . . . . . . . . . . 91 2.6.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3 Les méthodes directes : existence 95 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.2 Le cas modèle : l’intégrale de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.2.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.3 Un théorème général d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.3.1 Le théorème principal et quelques exemples . . . . . . . . 100 3.3.2 Démonstration du théorème principal . . . . . . . . . . . 104 3.3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 3.4 Equation d’Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.4.1 Le cas régulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.4.2 Le théorème principal et sa démonstration . . . . . . . . . 109 3.4.3 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 3.5 Le cas vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.5.1 Le théorème principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.5.2 Continuité faible du déterminant . . . . . . . . . . . . . . 119 3.5.3 Démonstration du théorème principal . . . . . . . . . . . 123 3.5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.6 Relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 3.6.1 Le théorème de uploads/Philosophie/ introductioncalcvar2019-pdf.pdf

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• Publié le Dec 26, 2022
• Catégorie Philosophy / Philo...
• Langue French
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