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Presses Universitaires de France is collaborating with JSTOR to digitize, preserve and extend access to Revue Philosophique de la France et de l'Étranger. http://www.jstor.org Presses Universitaires de France La philosophie des mathématiques Author(s): Jules Vuillemin Source: Revue Philosophique de la France et de l'Étranger, T. 163 (1973), pp. 333-344 Published by: Presses Universitaires de France Stable URL: http://www.jstor.org/stable/41094860 Accessed: 20-10-2015 22:32 UTC Your use of the JSTOR archive indicates your acceptance of the Terms & Conditions of Use, available at http://www.jstor.org/page/ info/about/policies/terms.jsp JSTOR is a not-for-profit service that helps scholars, researchers, and students discover, use, and build upon a wide range of content in a trusted digital archive. We use information technology and tools to increase productivity and facilitate new forms of scholarship. For more information about JSTOR, please contact support@jstor.org. This content downloaded from 129.78.139.28 on Tue, 20 Oct 2015 22:32:13 UTC All use subject to JSTOR Terms and Conditions REVUE CRITIQUE La philosophie des mathématiques1 I. - Analyse générale Ce petit livre, clairement écrit et qui sait éviter les lourdeurs techniques sans céder à l'imprécision ou à l'inexactitude, expose les problèmes actuels de la philosophie des mathématiques. Après une brève introduction historique, il analyse les deux questions suivantes : Io qu'est-ce qu'un énoncé de mathématiques pures ? 2° qu'est-ce que les mathématiques appliquées ? Les indications historiques sont succinctes et élégantes. A propos de Kant, je ne suis pas certain d'être d'accord avec l'auteur. Il m'a paru qu'il néglige le principe kantien selon lequel l'espace est une grandeur infinie donnée (voir le changement apporté par Kant de la première à la seconde édition de la Critique de la raison pure) et l'affaiblit en déclarant que « Kant ne regarde pas la notion d'infini actuel comme logiquement impossible » (p. 30). De même, en ce qui concerne la théorie kantienne des mathématiques appli- quées. M. Körner, qui passe sous silence la distinction entre exposé métaphysique et exposé transcendantal des concepts, me paraît contredire l'esprit des Principes métaphysiques de la science de la nature en déclarant (p. 143) que « la physique théorique (selon Kant) doit consister en énoncés reposant sur des intuitions... évidentes (on self-evident insights) concernant le mouvement dans l'espace et le temps ». J'ai montré (Physique et métaphysique kantiennes) que l'évidence ne pouvait caractériser les énoncés de la Mécanique rationnelle et les raisons de cette impossibilité. Ces désaccords, on le voit, sont de détail et historiques. M. Körner a le mérite d'insister sur la différence entre mathé- matiques pures et appliquées. Il esquisse (p. 159 sq.) une théorie ingénieuse des concepts inexacts et parvient (p. 166) à des défini- 1. Stephan Körner, The Philosophy of Mathematics, An Introductory Essay, London, Hutchinson University Library, 1960 et 1968, 198 p. This content downloaded from 129.78.139.28 on Tue, 20 Oct 2015 22:32:13 UTC All use subject to JSTOR Terms and Conditions 334 REVUE PHILOSOPHIQUE tions (d'un concept « purement exact » et d'un concept « intérieu- rement inexact ») dont le développement peut se révéler très utile. Ces considérations lui font conclure (p. 170) qu'il n'y a pas connexion entre les concepts mathématiques et les caractéristiques percep- tives : « L' < application > à la perception des mathématiques pures, qui sont logiquement sans connexion avec la perception, consiste dans une activité plus ou moins strictement réglée, enve- loppant : 1) le remplacement des concepts et des propositions empiriques par des concepts et des propositions mathématiques ; 2) la déduction de conséquences à partir des prémisses mathéma- tiques ainsi obtenues ; et 3) le remplacement de quelques-unes des propositions mathématiques déduites par des propositions empi- riques. » Cette conclusion est saine et confirmée par les faits. Répond- elle réellement à la question philosophique : « Pourquoi et comment les mathématiques s'appliquent-elles à l'expérience ? », c'est ce qui reste douteux, car M. Körner n'analyse pas la notion de « rem- placement » qu'il invoque justement. Bref, on demande précisément pour quelle raison on peut remplacer un concept empirique par un concept mathématique et comment ce remplacement prend place. On sait que Whitehead avait répondu à cette question par sa théorie de l'abstraction extensive. J'ignore le jugement de M. Körner sur cette théorie. L'essentiel du livre est consacré à examiner la nature des énoncés des mathématiques pures. L'auteur acceptant comme fait l'existence de trois écoles philosophiques - logicisme, formalisme, intuitionnisme - décrit et critique leurs thèses. L'exposé des thèses est lucide et brillant. Concernant la situation dans laquelle, une fois découvertes les antinomies, se trouvèrent les logicistes, M. Körner parle avec bonheur « des efforts variés dus aux successeurs de Russell pour réduire pour ainsi dire les epicycles qui, selon Russell, devaient être imposés au principe du cercle vicieux, principe qui était lui-même un epicycle de la théorie can- torienne des ensembles » (p. 47). Le livre abonde en trouvailles de ce genre. (Voyez par exemple l'exposé du passage heuristique des tautologies du calcul propositionnel aux principes de la quan- tification, p. 48.) La critique des thèses est conduite à trois points de vue, qui, sans nul doute, expriment les questions fondamentales que ren- contre la philosophie des mathématiques (p. 11) : Io Quelle est la structure et la fonction générales des propositions mathématiques ; 2° Quel est alors le rapport possible de ces propositions aux propo- This content downloaded from 129.78.139.28 on Tue, 20 Oct 2015 22:32:13 UTC All use subject to JSTOR Terms and Conditions REVUE CRITIQUE 335 sitions correspondantes des mathématiques appliquées ; 3° Quel est le statut de l'infini ? Considérons donc les trois systèmes en fonction des réponses qu'ils apportent à ces trois questions. Io Nature des propositions mathématiques. - Le logicisme est incapable, comme Quine l'a bien vu, de déterminer une caracté- ristique générale qui serait propre à toutes les propositions logiques ; d'où la nécessité (p. 57) ou bien de distinguer logique et mathé- matique proprement dite, ou bien d'admettre leur définissabilité réciproque en invoquant la notion d'ailleurs douteuse d'analyticité, ou bien de refuser avec Quine de distinguer entre propositions a priori et a posteriori. De même (p. 114), « le formalisme partit de la supposition qu'il y avait une claire distinction entre concepts, propositions finies et démonstrations finies (ad ocutos) d'une part, et leurs correspondants transfmis de l'autre. Mais en essayant de remplir le programme de prouver la non-contradiction des mathé- matiques classiques formalisées par des méthodes finies, il devint nécessaire d'admettre également des méthodes transfinies ». Quant à l'intuitionnisme (pp. 140-141), sa thèse est minée par l'existence de vues opposées regardant la nature de l'évidence propre à l'in- tuition et par l'incertitude des constructions concernant le carac- tère bien défini et unique des constructions tenues pour légitimes. 2° Rapport entre mathématiques pures et appliquées. - Logicisme et formalisme les confondent. Le logicisme (p. 58) suppose une connexion entre les nombres naturels logiques et la possibilité de les appliquer comme adjectifs qualifiant des choses empiriques. Le formalisme (p. 105) n'aperçoit pas que, quand il parle de marques sur le papier et les identifie aux nombres naturels, il les a déjà idéalisées. L'intuitionnisme (pp. 142-146) a, au mieux (avec H. Weyl), admis la distinction entre les deux mathématiques ; faute d'avoir analysé la notion de concept inexact, il n'a pas réelle- ment posé le problème des mathématiques appliquées. 3° Statut de Vinfini. - L'attitude des logicistes à l'égard de l'infini reste précritique (p. 66). La découverte des antinomies n'a produit que des mesures ad hoc. A cet égard, le formalisme est préférable, qui cherche à remplacer un concept matériel (inhaltlich) imparfait par un concept sain mais formel. Mais « il est essentiel pour le programme de Hubert que la logique ou la métamathéma- tique utilisée en prouvant la non-contradiction d'un formalisme, soit plus faible que le formalisme dont on prouve la non-contra- diction » (p. 147). Or, comme Brouwer l'avait affirmé, on peut soupçonner que ce n'est pas le cas, bien que ce soupçon n'ait pas This content downloaded from 129.78.139.28 on Tue, 20 Oct 2015 22:32:13 UTC All use subject to JSTOR Terms and Conditions 336 REVUE PHILOSOPHIQUE été démontré (p. 148). Les doutes intuitionnistes sont toujours valables. Cependant, considérée dans un aspect dogmatique, la philosophie intuitionniste de l'infini, à cause de sa prétention à l'unicité, est encore moins assurée que la philosophie intuition- niste du fini. Le bilan philosophique de l'enquête est donc négatif. Aucune des trois thèses n'a pu s'imposer. Néanmoins, M. Körner tire une conclusion et une conception positives de ce fait. Si l'on considère les trois tentatives exposées comme des programmes et non comme des thèses, alors on dira que le logicisme s'est avéré irréalisable (à moins de donner au mot « logique » un sens très vague), que le programme primitif de Hubert (finitisme strict) a dû être réformé et que le programme intuitionniste paraît, mathématiquement, le plus attrayant. Ceci enveloppe un changement radical concer- nant la nature des philosophies mathématiques, qui, si l'on admet, permet de renoncer à l'idée que l'une d'elles uniquement serait valable à l'exclusion des autres. Pour expliquer ce pluralisme, il faut entrer plus uploads/Philosophie/ la-philosophie-des-mathematiques-jules-vuillemin.pdf