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LES MATHÉMATIQUES ET LA LOGIQUE Article publié dans la Revue de Métaphysique et

LES MATHÉMATIQUES ET LA LOGIQUE Article publié dans la Revue de Métaphysique et de Morale, Années 1905, p. 815-835, 1906, p. 17-38, et p. 294-317. par Henri Poincaré Membre de l’Institut Alain.Blachair@ac-nancy-metz.fr Cliquez sur le lien ci-dessus pour signaler des erreurs. Premier article.................................................................................................................................. 4 I.................................................................................................................................................... 4 II................................................................................................................................................... 4 III ................................................................................................................................................. 6 IV. Définitions et axiomes........................................................................................................... 6 V .................................................................................................................................................. 8 VI................................................................................................................................................. 9 VII. La pasigraphie...................................................................................................................... 9 VIII ............................................................................................................................................ 11 IX............................................................................................................................................... 12 X. La logique de Russell..................................................................................................... 13 XI............................................................................................................................................... 15 XII.............................................................................................................................................. 16 XIII. Le nombre cardinal........................................................................................................... 17 XIV ............................................................................................................................................ 17 XV ............................................................................................................................................. 18 XVI. L'arithmétique................................................................................................................... 18 XVII........................................................................................................................................... 20 Deuxième article............................................................................................................................ 22 XVIII. La logique de Hilbert. .................................................................................................... 22 XIX ............................................................................................................................................ 23 XX ............................................................................................................................................. 24 XXI............................................................................................................................................ 25 XXII........................................................................................................................................... 25 XXIII ......................................................................................................................................... 26 XXIV ......................................................................................................................................... 27 XXV........................................................................................................................................... 28 XXVI. Le nombre infini. ........................................................................................................... 30 XXVII........................................................................................................................................ 32 XXVIII. La géométrie. .............................................................................................................. 33 XXIX. Conclusion..................................................................................................................... 33 XII.............................................................................................................................................. 35 XXXI ......................................................................................................................................... 36 Troisième article............................................................................................................................ 37 I. La définition du nombre......................................................................................................... 37 II. L'infaillibilité de la logistique............................................................................................... 37 III. La liberté de la contradiction............................................................................................... 39 IV............................................................................................................................................... 41 V. La seconde objection. ........................................................................................................... 42 VI............................................................................................................................................... 44 VII. Les antinomies cantoriennes. ............................................................................................. 44 VIII. Zigzag-theory et noclass-theory. ...................................................................................... 46 IX. La vraie solution.................................................................................................................. 48 X. Les démonstrations du principe d'induction. ........................................................................ 48 XI............................................................................................................................................... 49 XII.............................................................................................................................................. 51 XIII. L'axiome de Zermelo........................................................................................................ 51 XIV. Théorème de bernstein. .................................................................................................... 53 XV. Conclusions........................................................................................................................ 55 Premier article I Dans ces dernières années de nombreux travaux ont été publiés sur les mathématiques pures et la philosophie des mathématiques, en vue de dégager et d'isoler les éléments logiques du raisonnement mathématique. Ces travaux ont été analysés et exposés très clairement ici-même par M. Couturat dans une série d'articles intitulés les principes des Mathématiques. Je citerai en première ligne les écrits de Hilbert et de ses disciples, ceux de Whitehead, de B. Russell, ceux de Peano et de son école. On ne s'étonnera pas que je ne nomme pas ici M. Veronese ; bien qu'il se soit rencontré sur bien des points avec M. Hilbert, il se place à un point de vue tout différent et il est constamment préoccupé au contraire de conserver à l'intuition sa place légitime. J'ai eu dernièrement l'occasion de faire l'éloge du livre de M. Hilbert et d'en faire ressortir toute la portée, et en général tous ces travaux me semblent présenter un très grand intérêt. On devra désormais en tenir grand compte dans toutes les recherches de ce genre, et il y a lieu de se demander s'ils ne remettent pas en question quelques-unes des conclusions que certains philosophes croyaient acquises. Pour M. Couturat, la question n'est pas douteuse ; ces travaux nouveaux ont définitivement tranché le débat, depuis si longtemps pendant entre Leibnitz et Kant. Ils ont montré qu'il n'y a pas de jugement synthétique a priori, que les mathématiques sont entièrement réductibles à la logique et que l'intuition n'y joue aucun rôle. C'est ce que M. Couturat a exposé dans les articles que je viens de citer ; c'est ce qu'il a dit plus nettement encore à son discours du jubilé de Kant, si bien que j'ai entendu mon voisin dire à demi-voix : « On voit bien que c'est le centenaire de la mort de Kant ». Pouvons-nous souscrire à cette condamnation définitive ? Je ne le crois pas et je vais essayer de montrer pourquoi. II Ce qui nous frappe d'abord dans la nouvelle mathématique, c'est son caractère purement formel : « Pensons, dit Hilbert, trois sortes de choses que nous appellerons points, droites et plans, convenons qu'une droite sera déterminée par deux points et qu'au lieu de dire que cette droite est déterminée par ces deux points, nous pourrons dire qu'elle passe par ces deux points ou que ces deux points sont situés sur cette droite. » Que sont ces choses, non seulement nous n'en savons rien, mais nous ne devons pas chercher à le savoir. Nous n'en avons pas besoin, et quelqu'un, qui n'aurait jamais vu ni point, ni droite, ni plan pourrait faire de la géométrie tout aussi bien que nous. Que le mot passer par, ou le mot être situé sur ne provoquent en nous aucune image, le premier est simplement synonyme de être déterminé et le second de déterminer. Ainsi c'est bien entendu, pour démontrer un théorème, il n'est pas nécessaire ni même utile de savoir ce qu'il veut dire. On pourrait remplacer le géomètre par le piano à raisonner imaginé par Stanley Jevons ; ou, si l'on aime mieux, on pourrait imaginer une machine où l'on introduirait les axiomes par un bout pendant qu'on recueillerait les théorèmes à l'autre bout, comme cette machine légendaire de Chicago où les porcs entrent vivants et d'où ils sortent transformés en jambons et en saucisses. Pas plus que ces machines, le mathématicien n'a besoin de comprendre ce qu'il fait. Ce caractère formel de sa géométrie, je n'en fais pas un reproche à Hilbert. C'était là qu'il devait tendre, étant donné le problème qu'il se posait. Il voulait réduire au minimum le nombre des axiomes fondamentaux de la géométrie et en faire l'énumération complète ; or dans les raisonnements où notre esprit reste actif, dans ceux où l'intuition joue encore un rôle, dans les raisonnements vivants, pour ainsi dire, il est difficile de ne pas introduire un axiome ou un postulat qui passe inaperçu. Ce n'est donc qu'après avoir ramené tous les raisonnements géométriques à une forme purement mécanique, qu'il a pu être certain d'avoir réussi dans son dessein et d'avoir achevé son œuvre. Ce que Hilbert avait fait pour la géométrie, d'autres ont voulu le faire pour l'arithmétique et pour l'analyse. Si même ils y avaient entièrement réussi, les Kantiens seraient-ils définitivement condamnés au silence ? Peut-être pas, car en réduisant la pensée mathématique à une forme vide, il est certain qu'on la mutile. Admettons même que l'on ait établi que tous les théorèmes peuvent se déduire par des procédés purement analytiques, par de simples combinaisons logiques d'un nombre fini d'axiomes, et que ces axiomes ne sont que des conventions. Le philosophe conserverait le droit de rechercher les origines de ces conventions, de voir pourquoi elles ont été jugées préférables aux conventions contraires. Et puis la correction logique des raisonnements qui mènent des axiomes aux théorèmes n'est pas la seule chose dont nous devions nous préoccuper. Les règles de la parfaite logique sont-elles toute la mathématique ? Autant dire que tout l'art du joueur d'échecs se réduit aux règles de la marche des pièces. Parmi toutes les constructions que l'on peut combiner avec les matériaux fournis par la logique, il faut faire un choix ; le vrai géomètre fait ce choix judicieusement parce qu'il est guidé par un sûr instinct, ou par quelque vague conscience de je ne sais quelle géométrie plus profonde, et plus cachée, qui seule fait le prix de l'édifice construit. Chercher l'origine de cet instinct, étudier les lois de cette géométrie profonde qui se sentent et ne s'énoncent pas, ce-serait encore une belle tâche pour les philosophes qui ne veulent pas que la logique soit tout. Mais ce n'est pas à ce point de vue que je veux me placer, ce n'est pas ainsi que je veux poser la question. Cet instinct dont nous venons de parler est nécessaire à l'inventeur, mais il semble d'abord qu'on pourrait s'en passer pour étudier la science une fois créée. Eh bien, ce que je veux rechercher, c'est s'il est vrai qu'une fois admis les principes de la logique, on peut je ne dis pas découvrir, mais démontrer toutes les vérités mathématiques sans faire de nouveau appel à l'intuition. III A cette question, j'avais autrefois répondu que non ; notre réponse doit-elle être modifiée par les travaux récents ? Si j'avais répondu non, c'est parce que « le principe d'induction complète » me paraissait à la fois nécessaire au mathématicien et irréductible à la logique. On sait quel est l'énoncé de ce principe : « Si une propriété est vraie du nombre 1, et si l'on établit qu'elle est vraie de n + 1 pourvu qu'elle le soit de n, elle sera vraie de tous les nombres entiers. » J'y voyais le raisonnement mathématique par excellence. Je ne voulais pas dire, comme on l'a cru, que tous les raisonnements mathématiques peuvent se réduire à une application de ce principe. En examinant ces raisonnements d'un peu près, on y verrait appliqués beaucoup d'autres principes analogues, présentant les mêmes caractères essentiels. Dans cette catégorie de principes, celui de l'induction complète est seulement le plus simple de tous et c'est pour cela que je l'ai choisi pour type. IV. Définitions et axiomes. L'existence de pareils principes est une difficulté pour les logiciens intransigeants ; comment prétendent-ils s'en tirer ? Le principe d'induction complète, disent-ils, n'est pas un axiome proprement dit ou un jugement synthétique a priori ; c'est tout simplement la définition du nombre entier. C'est donc une simple convention. Pour discuter cette manière de voir, il nous faut examiner d'un peu près les relations entre les définitions et les axiomes. Reportons-nous d'abord à un article de M. Couturat uploads/Philosophie/ les-mathematiques-et-la-logique-henri-poincare.pdf