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See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/237270342 Mathematiques pour l'ingenieur 1 Book · July 2014 CITATIONS 0 READS 2,092 1 author: Some of the authors of this publication are also working on these related projects: Local Stability Analysis of microwave circuits View project Martine Olivi National Institute for Research in Computer Science and Control 69 PUBLICATIONS 366 CITATIONS SEE PROFILE All content following this page was uploaded by Martine Olivi on 31 May 2014. The user has requested enhancement of the downloaded file. Math´ ematiques pour l’ing´ enieur 1 Martine Olivi1 11 d´ ecembre 2007 1INRIA, BP 93, 06902 Sophia-Antipolis Cedex, FRANCE, {olivi}@sophia.inria.fr, phone : 33 4 92 38 78 77, fax : 33 4 92 38 78 58 2 Chapitre 1 Signaux et syst` emes Les notions de signaux et syst` emes apparaissent dans de nombreux domaines des sciences et tech- nologies. Pour les d´ ecrire et les ´ etudier, on dispose de puissants outils math´ ematiques, suffisament g´ en´ eraux pour s’appliquer ` a des domaines tr` es divers. L’objectif de ce cours est de pr´ esenter l’es- sentiel de ces outils math´ ematiques. Lorsque on observe des ph´ enom` enes physiques, la notion de signal correspond aux variations d’une quantit´ e en fonction d’une ou plusieurs variables, par exemple : - l’intensit´ e d’un courant ´ electrique - la diff´ erence de potentiel - la position d’un mobile au cours du temps - les niveaux de gris des points d’une image - l’intensit´ e d’un son Nous nous bornerons au cas d’une variable qui peut ˆ etre le temps, mais aussi la profondeur en g´ eophysique, l’altitude en m´ et´ eorologie, etc... La notion de fonction, en math´ ematiques permet de mod´ eliser de nombreux signaux. Cependant, la notion de distribution est une mod´ elisation ` a la fois plus g´ en´ erale et plus satisfaisante des signaux. On distingue les signaux analogiques x : t →x(t) pour lesquels la variable t est continue et les signaux discrets x : n →xn, n ∈Z pour lesquels la variable n est discrete. En ´ economie, l’indice hebdomadaire Dow-Jones est un signal discret. Dans les ´ etudes d´ emographiques, on trouve aussi de nombreux signaux discrets. Cependant, un signal discret r´ esulte souvent de l’´ echantillonage d’un signal analogique. On appelle syst` eme, un processus dans lequel on peut distinguer des signaux d’entr´ ee et des signaux de sortie. En th´ eorie du signal, on ne s’int´ eresse pas n´ ecessairement aux composantes du syst` eme, mais surtout ` a la fac ¸on dont il transforme un signal d’entr´ ee en signal de sortie. C’est une 3 ”boite noire”. Elle sera mod´ elis´ ee par un op´ erateur agissant sur des signaux Σ : X → Y x(t) → y(t) avec x(t) ∈X, l’ensemble des signaux d’entr´ ees et y(t) ∈Y, l’ensemble des signaux de sorties. Un syst` eme analogique transforme un signal analogique en un autre signal analogique. Un syst` eme discret transforme un signal discret en un autre signal discret. 1.1 Exemples et applications 1.1.1 Signaux discrets 1. Impulsion unit´ e  δ0 = 1 δn = 0 si n ̸= 0 6 • • • • • • • • • 0 2. Echelon unit´ e  un = 0, n entier n´ egatif un = 1 si n entier positif ou nul 6 • • • • • • • • • 0 1.1.2 Signaux analogiques 1. Echelon unit´ e de Heaviside u(t) =  0 si t < 0 1 si t > 0 4 6 0 Ce signal mod´ elise l’´ etablissement instantan´ e d’un r´ egime constant. La valeur en t = 0 peut ˆ etre pr´ ecis´ ee ou non. On verra que pour l’int´ egration cette valeur n’a pas d’importance. 2. Cr´ eneau centr´ e r(t) =  0 si |t| < a 1 si |t| > a a > 0 donn´ e 6 0 1.1.3 Signaux exponentiels et sinusoidaux Signaux exponentiels r´ eels Les signaux exponentiels r´ eels sont de la forme x(t) = Ceat, ou C et a sont des nombres r´ eels. Signaux sinusoidaux Les valeurs d’un signal sont souvent en pratique des nombres r´ eels. Cependant pour des raisons de commodit´ e on utilise couramment des fonctions ` a valeurs complexes. En particulier, le signal monochromatique x(t) = eiωt, ou ω est un nombre r´ eel positif appel´ e la pulsation. Ce signal est p´ eriodique de p´ eriode T = 2π/ω : x(t + T) = x(t). La fr´ equence de ce signal est f = ω 2π, elle mesure le nombre de cycles par seconde, ou hertz (Hz). Plus g´ en´ eralement, on consid` erera les signaux de la forme x(t) = Aei(ωt+φ), ou A est l’amplitude du signal et φ la phase initiale. La partie r´ eelle de ce signal est de la forme x(t) = A cos(ωt + φ). 5 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.15 cos(9.8 t +π/3) Signaux exponentiels complexes. Il s’agit de signaux de la forme x(t) = Aert+i(ωt+φ), et leurs parties r´ eelles x(t) = Aert cos(ωt + φ). Elles sont repr´ esent´ ees par des sinusoides croissantes (r > 0) ou d´ ecroissantes (r < 0). 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.1.4 Syst` emes 1. amplificateur id´ eal y(t) = k x(t), k constante 2. ligne ` a retard y(t) = x(t −a), a constante 3. d´ erivateur y(t) = x′(t) 6 4. circuit RC x(t) R C v(t) i(t) L’entr´ ee est la tension x(t), la sortie la tension v(t) aux bornes du condensateur : Σ : x(t) →v(t) 1.1.5 Applications L’objet de la th´ eorie des syst` emes ou th´ eorie du controle est l’´ etude des processus ent´ ee-sortie en vue de pr´ edire leur comportement ou de les commander, c’est ` a dire de d´ eterminer l’entr´ ee qui produira un comportement donn´ e. Pour cela, il faut tout d’abord ´ etablir un mod´ ele math´ ematique du syst` eme : ´ equation diff´ erentielle, fonction dite de transfert, qui va relier les signaux d’entr´ ee aux signaux de sortie. Pour cela, on utilise la connaissance que l’on a du processus : lois physiques, hypoth` eses raisonnables (lin´ earit´ e, invariance, causalit´ e ...) et les mesures exp´ erimentales dont on dispose. Pour mesurer l’ad´ equation du mod` ele au processus r´ eel on comparera pour un mˆ eme signal d’entr´ ee la sortie num´ erique avec le signal r´ eel. Cette comparaison s’effectuera au moyen de normes qui mesurent la distance entre deux fonctions. Mathematique Modele lois physiques hypotheses experimentations CONCRET Processus Sorties Entrees x(t) y(t) ABSTRAIT Dans la suite de ce chapitre, nous allons introduire quelques notions essentielles en th´ eorie des syst` emes. 7 1.2 Propri´ et´ es alg´ ebrique des syst` emes L’ensemble X des signaux d’entr´ ee et celui Y des signaux de sortie sont suppos´ es munis d’une structure d’espaces vectoriels : on peut additionner deux signaux, multiplier un signal par une constante ... Lin´ earit´ e. On l’appelle aussi principe de superposition. Le syst` eme Σ : X →Y, est lineaire si ∀x1, x2 ∈X, λ ∈R ou C Σ(x1 + x2) = Σ(x1) + Σ(x2) Σ(λ x1) = λ Σ(x1) Invariance. Un syst` eme est dit invariant ou stationnaire si une translation du temps sur l’entr´ ee entraine la mˆ eme translation du temps sur la sortie : si Σx(t) = y(t), alors Σxa(t) = ya(t) ou xa(t) et ya(t) sont les signaux translat´ es d´ efinis par xa(t) = x(t −a) ya(t) = y(t −a). Causalit´ e. Un syst` eme est dit causal si pour deux signaux d’entr´ ee qui coincident jusqu’au temps t = t0, les signaux de sortie coincident au moins jusqu’au temps t0. ∀t ≤t0, x1(t) = x2(t) ⇒∀t ≤t0, y1(t) = y2(t). Cette propri´ et´ e est naturelle pour un syst` eme o` u la variable est le temps. Elle exprime le fait que la r´ eponse d’un syst` eme ne d´ epend que du pass´ e. Pour les syt` emes discrets, a est une nombre entier. Un syst` eme lin´ eaire invariant est causal si et seulement si ∀t ≤0, x(t) = 0 ⇒∀t ≤0, y(t) = 0. 1.3 Continuit´ e d’un syst` eme Un syst` eme est dit continu si, lorsque la suite (xn) tend vers x, la suite (yn = Σxn) tend vers y = Σx. On suppose pour cela qu’une notion de convergence est d´ efinie sur les ensembles X et Y des signaux d’entr´ ee et de sortie. La continuit´ e est une hypoth` ese naturelle. Elle exprime que deux signaux d’entr´ ee proches conduisent ` a des sorties proches. La notion de limite est souvent d´ efinie ‘a l’aide d’une norme. Pour les signaux analogiques les normes les plus courantes sont uploads/Philosophie/ mathematiques-pour-lingenieur-1.pdf

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Philosophiefonction fonctions alors transform´ egrale
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