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SÉRIE 02 OBJECTIF PÉDAGOGIQUE : À l’issue de ce cours vous serez capable d’étud

SÉRIE 02 OBJECTIF PÉDAGOGIQUE : À l’issue de ce cours vous serez capable d’étudier la notion de la logique binaire et la table de vérité. PLAN DE LA LEÇON: I- CONJONCTION II- DISJONCTION III- NÉGATION 1- Négation d'une phrase 2- Négation d'une proposition IV- PROPOSITION ET TABLE DE VÉRITÉ 1- Description proposition 2- Table de vérité V-TAUTOLOGIE ET CONTRADICTION VI- ÉQUIVALENCE LOGIQUE : ALGÈBRE DES PROPOSITIONS VII- RAISONNEMENT ET IMPLICATION LOGIQUE 1- Raisonnements 2- Implication logique COURS DE MATHÉMATIQUES Mme OUARES COURS MATHÉMATIQUES « CFPA BATNA 3 » PAGE 01 I- CONJONCTION : L'assertion « P et Q » (aussi notée « P ∧ Q ») est vraie si et seulement si P et Q sont toutes deux vraies : On appelle cette assertion la conjonction de P et de Q Formes normales conjonctives (p ou !q) et (q ou !r), (p ou !q) et (q ou !r) et (r et !p), II- DISJONCTION : Elle est définie de la manière suivante : a OU b est VRAI si et seulement si a est VRAI ou b est VRAI. (En particulier, si a est vrai et que b est vrai aussi, alors a OU b est vrai.) Cette loi est aussi notée • • «∨» (« ») en mathématiques (et en logique mathématique) ou en APL. • « | » ou « || » dans certains langages de programmation • En toute lettre «or» ou «OR» en logique ou dans certains langages de programmation. On privilégiera dans la suite la notation mais on prendra garde que cette loi n'est pas l'addition usuelle dans Z/2Z. C'est pourquoi, en mathématiques et en logique mathématique, la notation n'est pas utilisée pour désigner le "ou inclusif" : elle est réservée au "ou exclusif", opération qui (jointe au "et") fait de toute algèbre de Boole un anneau de Boole, en particulier une Z/2Z-algèbre. P Q P∧Q Faux Faux Faux Faux Vrai Faux Vrai Faux Faux Vrai Vrai Vrai Mme OUARES COURS MATHÉMATIQUES « CFPA BATNA 3 » PAGE 02 III- NÉGATION : 1- Négation d'une phrase : 1- Proposition En mathématiques, une proposition est une phrase mathématique. Une proposition peut être vraie ou fausse. Dans les phrases qui suivent, la lettre x représente un nombre réel. 2- Négation d'une proposition : Soit une phrase A La phrase B est la négation de la phrase A lorsque: Si A est vraie alors B est fausse et si A est fausse alors B est vrai. La négation des phrases du I-1 sont: On note non P ou ¬P, la négation de « P » : P Non P (¬P) Vrai Faux Faux Vrai Table de la loi OU b\a 0 1 0 0 1 1 1 1 Négation de la proposition A Vrai ou faux B1 Il existe réel x qui a un carré strictement négatif B2 x > 5 B3 Tous les rectangles sont des parallélogrammes Mme OUARES COURS MATHÉMATIQUES « CFPA BATNA 3 » PAGE 03 IV- PROPOSITION ET TABLE DE VÉRITÉ : 1- Description proposition : Écrivez une proposition logique des trois variables p, q et r. Les variables sont 'p', 'q' et 'r'. Les symboles de constantes sont '1' ou 'V' pour Vrai, '0' ou 'F' pour Faux. '!' est l'opérateur unaire de négation (!p est la négation de p, on peut aussi utiliser les signes -, /, \). Les connecteurs 'ou' (disjonction, inclusive) 'et' (conjonction) peuvent être respectivement remplacés par '+' et par '.', '*', 'x'. Les autres connecteurs binaires sont '=>', '<=', '<=> Les parenthèses '(', ')' ou les crochets '[', ']' peuvent être utilisés dans l'écriture de la formule propositionnelle. Exemples à 0 ou 1 variable : F ou F, F ou V, V ou V, F et F, F et V, V et V, F => V, V => V, V => F, V <=> V, F <=> F, V <= F, p ou F, p ou V, p et F, p et V, p ou p, p et p, p ou !p, p et !p, p => p, !p => p, p => !p, p <=> p, p <=> !p Exemples à 2 variables : Commutativité ou non q ou p, q et p, (q => p) <=> (p => q), (q <=> p) <=> (p <=> q). 2- Table de vérité : Une table de vérité est une manière sémantique de représenter le calcul propositionnel classique. Ces outils sont couramment utilisés en électronique (porte logique) et en informatique (tests). - Cet outil de travail nous permettra d’identifier toutes les possibilités que les actionneurs peuvent exécuter, que soit une sortie active (1) ou non active (0). Mme OUARES COURS MATHÉMATIQUES « CFPA BATNA 3 » PAGE 04 - Dans la première les actionneurs sont identifiés par des variables. Une table de vérité se divise en deux c’est-à-dire, les variables d’entrées (Bouton poussoir, contact, etc..) et les variables de sorties (relais, moteurs, lumière, solénoïdes, etc...) - Les variables d’entrées sont identifiés par des lettres de l’alphabet de A à W. Les variables de sorties sont identifiées par la terminologie « sortie » pour seulement une variable et par des lettres non utilisées par les variables d’entrées pour plus d’une sortie (ex: X, Y, Z). Conception d’une table de vérité : Pour concevoir une table de vérité il faut en premier lieu identifier le nombre de variable d’entrée. Cette information nous permettra de déterminer toutes les possibilités possibles que peuvent exécuter les variables entre elles. Faut comprendre que les variables n’ont que deux possibilités 0 ou 1, active ou désactive, ont dit d’eux qu’ils sont binaire (seulement deux possibilités). On peut donc affirmer que le nombre de possibilités d’une variable exposant le nombre de variable déterminera les nombres de combinaisons possibles. Sachant le nombre de variable (2 exposant à la n), nous pourrons déterminer le nombre de division de la table de vérité. Exemple voir table précédente: Variable A et B = 2² = 4 lignes et 2 colonnes, la troisième colonne servira à identifier la sortie. A B Sortie Etats Etats Etat Mme OUARES COURS MATHÉMATIQUES « CFPA BATNA 3 » PAGE 05 Puis on identifiera chacun des casiers dans un ordre binaire. Exemple à la page suivante. Premier case = 00 Second case = 01 Troisième case = 10 Quatrième case = 11 Table de vérité, identification de la sortie : La colonne Sortie sera indiqué par un nombre binaire 0 ou 1. Le nombre indiquer (0 ou 1) dans cette case dépendra de l’énoncé ou de la composante à laquelle les conditions des variables activeront oui ou non la sortie. Exemple: La compagnie vous informes que le moteur (Sortie) devra s’activer uniquement si le bouton A est enfoncé et pas le bouton B. Ce qui signifie que la première ligne de la colonne sortie, on indiquera 0, la seconde un 0, la troisième 1 et la dernière 0. Table de vérité à plusieurs de sortie : • Il est possible qu’il soit nécessaire d’avoir plusieurs sorties à partir d’une table de vérité. • Un bon exemple serait l’utilisation de deux moteurs électrique à partir d’un même circuit électrique. Reprenons l’exemple précédent et ajoutons que le deuxième moteur s’activera uniquement si les boutons A et B sont enfoncés. A B Sortie 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 Mme OUARES COURS MATHÉMATIQUES « CFPA BATNA 3 » PAGE 06 Table de vérité, type de montage : Les sorties sont variables en fonctions du type de montage. Exemple : A + B = A ou B, circuit en OU À la première ligne binaire si A = 0 et B = 0, la sortie sera = 0 À la deuxième ligne binaire si A = 0 et B = 1, la sortie sera = 1 Etc. A B Sortie X Sortie Y 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 A B Sortie 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Mme OUARES COURS MATHÉMATIQUES « CFPA BATNA 3 » PAGE 07 Exemple composé : Table de vérité de a. (b+c) a b c a. (b+c) 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 Le '.' se dit et, le '+' se lit ou. On lit dans ce tableau: a et (b ou c) Pour valider cette table, il faut donc que le a soit à l'état 1, ainsi que b ou c. ‘et’ et ‘ou’ sont les opérateurs d'un état logique. On note les entrées "E" et les sorties "S". V- TAUTOLOGIES ET DES CONTRADICTIONS1: 1- Définition Une expression propositionnelle est une tautologie si et seulement si pour toutes les affectations possibles de valeurs de vérité à ses variables sa valeur de vérité est T. Exemple : PV ¬ P PPV ¬ P de P --------------------- T F T F uploads/Philosophie/ mathematiques-s2.pdf