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Université Paris I Panthéon–Sorbonne 2014-2015 UFR de Philosophie De la non-cer

Université Paris I Panthéon–Sorbonne 2014-2015 UFR de Philosophie De la non-certitude en mathématique La philosophie idoine de Ferdinand Gonseth Marc Sage Sous la direction de Monsieur Marco Panza Master 2 LoPhiSC 10 octobre 2015 Remerciements. Nous tenons à remercier notre directeur Marco Panza qui nous a bien volontiers accordé son temps, sa culture, et mis généreusement à notre disposition ses exemplaires personnels des ouvrages de Gonseth. Des horizons se sont ouverts grâce aux références qu’ils nous a indiquées – qu’aurions-nous pu espérer retirer de mieux de notre travail ? Nous voudrions également remercier David Waszek pour les riches échanges et discussions que nous avons eus pendant cette année initiatique. Typographie. Toutes les mises en police grasse sont de notre fait et dénotent une mise en emphase. Nous éviterons ainsi au lecteur la question récurrente « L’emphase est-elle déjà dans le texte cité ou bien a-t-elle été rajoutée par le citateur ? ». Les guillemets anglais " " dénoteront une "façon de parler" ou une mention-étiquette, ceux français « » une citation (même de l’intérieur de son auteur, « comme une pensée que l’on n’aurait point encore formulée »). Nous tacherons de respecter autant que possible la typographie des ouvrages cités (choix des guillemets, absence d’accents sur les majuscules, minuscules des noms propres). A…n d’alléger les notes de bas de page (toutes en interligne simple), les sauts de lignes qui devraient y …gurer ont été systématiquement remplacés par des alinéas et les citations apparaîtront sans guillemets. Le corps du texte est en double interligne. Les citations isolées de ce corps (autres que celles en bas de page) seront centrées, en simple interligne et sans guillemets. 1 Table des matières 0 Introduction 3 1 La sphère intuitive 6 1.1 Commencer sans fonder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Les formes intuitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Vérité, évidence & preuve intuitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Les axiomatisations successives 13 2.1 La sphère idéale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 La sphère logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3 Le formalisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 La schématisation 16 3.1 Schéma, horizon de réalité & horizon de connaissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2 Concordance schématique, principe d’analogie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.3 L’idonéisme de Gonseth (back to Hume) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 Apports personnels 21 4.1 Gonseth, Hume, Duhem et Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.2 Applications de l’idonéisme et ouvertures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.3 En guise de conclusion (Caveing, Frege) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5 Annexe technique : le nombre est action 33 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.2 Reverse mathematics : du théorème 126 de Dedekind aux axiomes de Peano . . . . . . . . . . 37 5.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 6 Bibliographie 43 2 0 Introduction Quelle est la signi…cation et la légitimité des savoirs mathématiques ? Comment s’insèrent-ils dans notre connaissance du monde phénoménal ? Frédéric Patras, La pensée mathématique contemporaine (2001) Toute personne enseignant la mathématique devrait (selon nous) questionner sa discipline : 1. son interlocuteur (à qui s’adresse-t-elle ?) ; 2. son objet (de quoi parle-t-elle ?) ; 3. son discours (comment en parle-t-elle ?) ; 4. sa légitimité (pourquoi peut-elle en parler ainsi ?) ; 5. ses fondements (sur quoi repose-t-elle ?) ; 6. sa place scienti…que (quel "réseau" déploie-t-elle au sein de la science ?). Le programme est vaste et il n’est pas question d’espérer le cerner ni d’en faire le tour. Nous questionnerons particulièrement trois implicites de la mathématique enseignée – et parfois ainsi pratiquée : 1. la mathématique traiterait d’objets purs (détachés du matériel) ; 2. la mathématique porterait la vérité absolue (immuable) ; 3. la mathématique raisonnerait de façon parfaite (certaine). Il su¢rait d’évoquer deux domaines élémentaires de la mathématique – l’arithmétique et la géométrie – pour se rendre compte de la teneur de notre programme. Que sont donc ces "objets" – nombres, points, droites – dont parlent les énoncés de ces mathématiques "premières" ? Quelle est donc cette "vérité" qui distingue certains énoncés (« 2 + 3 = 5 », « les deux seules puissances consécutives sont 8 et 9 », « les suites de Goodstein tendent toutes vers 0 », « un triangle ayant deux bissectrices de même longueur est isocèle », « la somme des angles d’un triangle fait un plat ») des d’autres (« 1 + 1 = 3 », « les nombres de Fermat sont premiers », « tout triangle est isocèle », « la diagonale d’un carré rapportée à son côté est rationnelle ») ? Comment nous, êtres humains, pouvons-nous établir la "vérité" ou la "fausseté" de tels énoncés ? Et, englobant le tout, comment ces domaines s’insèrent-ils dans notre connaissance de notre environnement ? 4.112 Le but de la philosophie est la clari…cation logique des pensées. La philosophie n’est pas une théorie mais une activité. Une œuvre philosophique n’est pas de produire des « propositions philosophiques », mais de rendre claires les propositions. La philosophie doit rendre claires, et nettement délimitées, les propositions qui autrement sont, pour ainsi dire, troubles et confuses. Ludwig Wittgenstein, Tractacus Logico-Philosophicus (1922) 3 Nous nous proposons dans ce mémoire d’étudier l’apport fondamental (et semble-t-il peu connu) de Ferdinand Gonseth à ces questions. Trois ouvrages, Les fondements des mathématiques [Gons1926], Les mathématiques et la réalité [Gons1936] et Qu’est-ce que la logique ? [Gons1937], traitent globalement des mathématiques. Nous nous concentrerons sur le cadet qui nous parait contenir et dépasser ses ainé et benjamin – notre discours sera de fait parsemé de notes référant à [Gons1926] ainsi qu’à [Gons1937], visant à étayer les propos de [Gons1936]. Toutes les paragraphinations non précisées se rapporteront à [Gons1936]. Un autre travail, La géométrie et le problème de l’espace [Gons1945-55], se concentre sur la géométrie, étudiant le problème de (la connaissance de) l’espace. Mais c’est bien le problème plus général de la connaissance dont il traite, la géométrie n’étant qu’un archétype des processus mis en jeu lors de la constitution de cette dernière. Vu les redondances avec [Gons1936], nous l’utiliserons plus pour soutenir le dernier que pour développer ses spéci…cités1. La citation uploads/Philosophie/ memoire-def-b-is.pdf