Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Universit´ e Mohammed V - Agdal Facult´ e des Sciences D´ epartement de Math´ e

Universit´ e Mohammed V - Agdal Facult´ e des Sciences D´ epartement de Math´ ematiques et Informatique Avenue Ibn Batouta, B.P. 1014 Rabat, Maroc Fili` ere : Sciences Math´ ematiques et Informatique (SMI) et Sciences Math´ ematiques (SM) Module Analyse Num´ erique I : Par Ann´ ee 2003-2004 1 Plan du cours Introduction Repr´ esentation des nombres en machine R´ esolution de f(x)=0 M´ ethodes directes M´ ethodes it´ eratives R´ esolution de syst` emes lin´ eaires Par la m´ ethode de Gauss Par la d´ ecomposition LU Interpolation polynomiale Int´ egration - D´ erivation Equations diﬀ´ erentielles 2 Chapitre I : Repr´ esentation des nombres en machine ——————————————————————————– Introduction I) Arithm´ etique et sources d’erreurs 1)Evaluation de l’erreur La repr´ esentation des nombres dans un calculateur 2)La m´ emoire de l’ordinateur: le stockage des nombres Les nombres entiers Les nombres r´ eels Troncature d’un nombre Arrondissement d’un nombre II)Les r` egles de base de l’arithm´ etique ﬂottante III)Propagation des erreurs en arithm´ etique ﬂottante L’erreur absolue sur une somme L’erreur absolue dans la multiplication Perte de chiﬀres signiﬁcatifs dans la soustraction Des formules ´ equivalentes peuvent fournir des r´ esultats diﬀ´ erents Exemple :Calcul de la variance en statistique IV)Conditionnement et stabilit´ e num´ erique Instabilit´ e num´ erique Exercices 0.1 Arithm´ etique des calculateurs et Sources d’erreurs Si sophistiqu´ e qu’il soit , un calculateur ne peut fournir que des r´ eponses approximatives. Les approximations utilis´ ees d´ ependent ` a la fois des con- traintes physiques (espace m´ emoire, vitesse de l’horloge...) et du choix des m´ ethodes retenues par le concepteur du programme . (pour plus de d´ etails sur le fonctionnement d’un ordinateur et la terminologie de base voir par exemple la page web htttp://www.commentcamarche.com 3 Le but de ce chapitre est de prendre connaissance de l’impact de ces contraintes et de ces choix m´ ethologiques. Dans certains cas il doit ˆ etre pris en compte dans l’analyse des r´ esultats dont une utilisation erron´ ee pourrait ˆ etre coˆ uteuse. La premi` ere contrainte est que le syst` eme num´ erique de l’ordinateur est discret, c’est ` a dire qu’il ne comporte qu’un nombre ﬁni de nombres; Il en d´ ecoule que tous les calculs sont entach´ es d’erreurs. 0.1.1 Evaluation de l’erreur Rappelons d’abord quelques notion de base ; Si X est une quantit´ e ` a calculer et X∗la valeur calcul´ ee, on dit que : 1. X −X∗est l’erreur et | E |=| X −X∗|est l’erreur absolue. Exemple : Si X = 2.224 et X∗= 2.223 alors l’erreur absolue | E |=| X −X∗|= 2.224 −2.223 = 0.001 2. Er = ¯ ¯ ¯ X−X∗ Xr ¯ ¯ ¯ est l’erreur relative, Xr ̸= 0. Xr est une valeur de r´ ef´ erence pour X. En g´ en´ eral ,on prend Xr = X. Exemple : Si X = 2.224 et X∗= 2.223 alors , si on prend Xr = X , l’erreur relative Er= ¯ ¯ ¯ X−X∗ Xr ¯ ¯ ¯ =|X−X∗| |X| =0.001 2.224= 4. 496 × 10 −4 Cependant, si X est la valeur d’une fonction F(t) avec a ≤t ≤b, on choisira parfois une valeur de r´ ef´ erence globale pour toutes les valeurs de t. Exemple : Si X = sin(t) avec 0 ≤t ≤ π 4, on pourra prendre X = √ 2 2 = sup 0≤t≤π 4 sin(t). En g´ en´ eral , on ne connait pas le signe de l’erreur de sorte que l’on consid` ere les erreurs absolues et les erreurs relatives absolues. 4 Les op´ erations ´ el´ ementaires propagent des erreurs. Dans la pratique, on consid` ere que : 1) L’erreur absolue sur une somme est la somme des erreurs absolues. 2) L’erreur relative sur un produit ou un quotient est la somme des ereurs relatives. On peut estimer l’eﬀet d’une erreur E sur l’argument x d’une fonction f(x) au moyen de la d´ eriv´ ee de f(x). En eﬀet f(x + E) ≃f(x) + Ef ′(x) Exemple : Calculer la valeur de (11111111)2 La valeur fournie par une petite calculatrice ` a cinq chiﬀres est 1, 2345x1014 Mais la r´ eponse exacte est 123456787654321. La machine a donc tronqu´ e le r´ esultat ` a 5 chiﬀres et l’erreur absolue est de 6 ∗199. L’erreur relative est de 0.0005% . Cet exemple montre qu’il faut ´ etablir clairement l’objectif vis´ e. Cet objectif est double ; 1) Nous voulons un bon ordre de grandeur (ici 1014) et avoir le maximum de d´ ecimales exactes, 2) Ce maximum ne peut exc´ eder la longueur des mots permis par la machine et d´ epend donc de la machine 0.1.2 La m´ emoire de l’ordinateur : le stockage des nombres La m´ emoire d’un ordinateur est form´ ee d’un certain nombre d’unit´ es adess- ables appel´ ees OCTETS . Un ordinateur moderne contient des millions voir des milliards d’octets. Les nombres sont stock´ es dans un ordinateur comme ENTIERS ou REELS. Les nombres entiers : Les nombres entiers sont ceux que l’on utilise d’habitude sauf que le plus grand nombre repr´ esentable d´ epend du nombre d’octets utilis´ es: -avec deux (2) octets, on peut repr´ esenter les entiers compris entre −32768 et 32767 5 -avec quatre (4) octets on peut repr´ esenterr les entiers compris entre −2147483648 et 2147483647 Les nombres r´ eels Dans la m´ emoire d’un ordinateur, les nombres r´ eels sont repr´ esent´ es en no- tation ﬂottante. Cette notation a ´ et´ e introduite pour garder une erreur relative ` a peu pr´ es constante; quelque soit l’ordre de gandeur du nombre qu’on manipule. En notation ﬂottante, un nombre a la forme: x = ±Y × be b est la base du syst` eme num´ erique utilis´ e Y est la mantisse : une suite de s entier y1y2...ys avec y1 ̸= 0 si x ̸= 0 et 0 ≤yi ≤(b −1) e est l’exposant(un nombre entier relatif) La norme choisie est celle o` u la mantisse est comprise entre 0 et 1 et o` u le premier chiﬀre apr` es la virgule est diﬀ´ erent de z´ ero. Calcul de l’erreur Nous terminons ce chapitre en d´ eﬁnissant les notions de troncature et d’arrondie. Exemple : En base 10, x = 1/15 = 0.066666666...... Dans le cas d’une repr´ esentation tronqu´ ee nous aurons, pour s = 5, fl(x) = 0.66666 ∗10−1. Remarquez comment nous avons modiﬁ´ e l’exposant aﬁn de respecter la r` egle qui veut que le premier chiﬀre de la mantisse ne soit pas nul . Dans ce cas, l’erreur absolue X −fl(X) est de 6×10−7.. L’erreur relative est de l’ordre de 10−5 Dans une repr´ esentation tronqu´ ee ` a s chiﬀres, l’erreur relative maximale est de l’ordre de 10−s Dans une repr´ esentation arrondie, lorsque la premi` ere d´ ecimale n´ eglig´ ee est sup´ erieure ` a 5, on ajoute 1 ` a la derni` ere d´ ecimale conserv´ ee. Exemple : 6 x = 1/15 = 0.066666666. Nous ´ ecrirons fl(x) = 0.66667 × 10−1 L’erreur absolue serait alors 3.333 × 10−7et l’erreur relative serait 5 × 10−6 En g´ en´ eral, l’erreur relative dans une repr´ esentation arrondie ` a s chiﬀres est de 5 × 10−(s+1) soit la moiti´ e de celle d’une repr´ esentation tronqu´ ee. 0.2 Les r´ egles de base du mod` ele Pour eﬀectuer une op´ eration sur deux nombres r´ eels, on eﬀectue l’op´ eration sur leurs repr´ esentations ﬂottantes et on prend ensuite la repr´ esentation ﬂot- tante du r´ esultat. l’addition ﬂottante x ⊕y = fl(fl(x) + fl(y)) la soustraction ﬂottante x ⊖y = fl((x) −fl(y)) la multiplication ﬂottante x ⊗y = fl(fl(x) × fl(y)) la division ﬂottante x ÷ y = fl(fl(x)/fl(y)) Chaque op´ eration interm´ ediaire dans un calcul introduit une nouvelle erreur d’arrrondi ou de troncature. Dans la pratique, il faudra se souvenir du fait que deux expressions alg´ ebriquement ´ equivalentes peuvent fournir des r´ esultats diﬀ´ erents et que l’ordre des op´ erations peut changer les r´ esultats. Pour l’addition et la soustraction on ne peut eﬀectuer ces 2 op´ erations que si les exposants sont les mˆ emes. On transforme le plus petit exposant et 7 donc on ne respecte plus la r´ egle voulant que le premier chiﬀre de la mantisse ne soit pas nul. Quelques remarques sur ce mod` ele: On constate une d´ eviation importante par rapport aux lois habituelles de l’arithm´ etique. x + (y + z) peut ˆ etre diﬀ´ erent de (x + y) + z. Exemple : Pour 4 chiﬀres signiﬁcatifs ( s = 4) on a : (1 + 0.0005) + 0.0005 = 1.000 car 0.1 × 10 1+0.5. × 10 −3= 0.1. × 10 1+0.00005. × 10 1= 0.1 × 10 1+0.0000. × 10 1= 0.1 × 10 1 et 1 + (0.0005 + 0.0005) = 1.001 Ainsi, l’addition ﬂottante n’est pas associative .(TD:Sommation d’une s´ erie ` a termes positifs) On constate aussi uploads/Philosophie/ numerique-1.pdf