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TABLE DES MATIÈRES Page INTRODUCTION ..........................................

TABLE DES MATIÈRES Page INTRODUCTION .....................................................................................................................1 CHAPITRE 1 Représentation paramétrique ..................... Error! Bookmark not defined. 1.1 Definition ..................................................................... Error! Bookmark not defined. 1.2 Propriété ....................................................................... Error! Bookmark not defined. CHAPITRE 2 Modèle Spline ............................................ Error! Bookmark not defined. 1.1 Présentation générale ................................................... Error! Bookmark not defined. 1.2 Définition ..................................................................... Error! Bookmark not defined. CHAPITRE 3 Modèle BEZIER ........................................ Error! Bookmark not defined. 2.1 Présentation générale ................................................... Error! Bookmark not defined. 2.2 Avantage ...................................................................... Error! Bookmark not defined. CHAPITRE 4 Modèle B-spline ......................................... Error! Bookmark not defined. 3.1 Présentation générale ................................................... Error! Bookmark not defined. 3.2 Avantage ...................................................................... Error! Bookmark not defined. CHAPITRE 5 Modèle NURBS .........................................................................................15 4.1 Présentation générale ................................................... Error! Bookmark not defined. 4.2 Avantage ...................................................................... Error! Bookmark not defined. CONCLUSION ........................................................................................................................19 BIBLIOGRAPHIE ...................................................................................................................23 INTRODUCTION Les problèmes d'interpolation et d'approximation sont un vaste sujet qui s'étend de l'ajustement de mesures à la conception d'images de synthèse en passant par la création de polices de caractères. Le comte de Lagrange s'est penché sur les problèmes d'interpolation au XVIIIe siècle mais il faut attendre l'arrivée des ordinateurs pour que le domaine se développe réellement. Au XVIIIe siècle, l'interpolation et l'approximation servaient surtout à relier ou approcher des mesures : l'intérêt était avant tout scientifique. Avec la révolution industrielle, les machines sont apparues, il a fallu dessiner les pièces pour pouvoir les produire. Pour tracer des courbes, les dessinateurs utilisaient des méthodes manuelles qui reposaient sur la déformation de lames de métal, de ressorts et l'utilisation de pistolets. Puis vers 1950 les machines à commandes numériques sont arrivées : il devenait obligatoire d'exprimer ces courbes mathématiquement. La première approche a été de numériser le travail des dessinateurs mais cela était long et coûteux, la nécessité de trouver des courbes capables d'être utilisées depuis la conception jusqu'à la réalisation s'est donc fait sentir. Les splines cubiques ont été la première méthode mise au point, puis les courbes de Bézier sont arrivées, avec une conception différente, plus souple. L'évolution s'est poursuivie avec les B-Splines, généralisation des courbes de Bézier, puis avec les NURBS dans les années 1980. Puis les courbes ont vu leur domaine s'étendre avec l'apparition de l'informatique domestique : les logiciels de dessin vectoriel utilisent les courbes de Bézier ainsi que les B- Splines. Ces courbes sont aussi à la base des images de synthèse, des jeux vidéo, etc. Certains concepts sont encore au stade de développement ou ne sont pas documentés. Il est par exemple impossible de connaitre les algorithmes internes des programmes de conception en 3D. Nous avons choisi une approche graphique, c'est-à-dire que nous étudierons plutôt des courbes destinées à la C.A.O. (conception assistée par ordinateur) ou au design. L'ajustement de points par des courbes n'est pas exemple pas traité. Dans ce cadre, nous allons relier l'étude théorique de ces courbes avec leurs applications pratiques, leurs avantages et leurs faiblesses. Nous nous pencherons sur l'interpolation par Spline, ensuite nous expliquerons l'utilité d'approximer les points, plutôt que de les interpoler, avec les courbes de Bézier puis les B- Splines, et enfin NURBS. CHAPITRE 1 Représentation paramétrique 1.1 Definition Une représentation paramétrique d’une courbe (C) est un système d’équations où les coordonnées des points de la courbe sont exprimées en fonction d’un paramètre (souvent noté t, k, q, …). P(t) = { En un point t=t0 le vecteur tangent s’exprime : P’(t0) = { (1.1) 1.2 Propriétés  Si p’(t0) ≠ 0 alors la courbe est dite régulière en t0 et p’(t0) est dit point ordinaire.  Si p’(t0) = 0 alors p(t0) est un point singulier.  Si la courbe p(t) sur [a,b] satisfait les conditions suivantes : o Les dérivés d’ordre r de x(t), y(t), et z(t) existent et sont continues. o p(t) est régulière sur [a,b]. Alors la courbe st dite de classe C . r CHAPITRE 2 Modèle Spline 2.1 Présentation générale L’interpolation par splines a été développée par l’industrie automobile, chez General Motors aux alentours de 1950. Dans le domaine mathématique de l'analyse numérique, une spline est une fonction définie par morceaux par des polynômes. Dans les problèmes d'interpolation, la méthode des splines est souvent préférée à l'interpolation polynomiale, car on obtient des résultats similaires en se servant de polynômes ayant des degrés inférieurs, tout en évitant le phénomène de Runge. Dans le domaine du design, en construction automobile par exemple, les splines sont utilisées pour approcher des contours complexes. Leur simplicité d'implémentation les rend très populaires et elles sont fréquemment utilisées dans les logiciels de dessin. 2.2 Definition Etant donnés k points ti appelés nœuds dans un intervalle [a,b] avec a=t0<t1<…<tk-1=b. La courbe S S : [a,b]  R est appelée spline de degré n si S € C Sur [a,b] et sa restriction sur chaque sous intervalle S[ti,ti+1]. € Pn, i=0,…k-2, où Pn est l’ensemble des polynômes de degré n. En d’autre termes, sur chaque sous-intervalle [ti,ti+1], i=0,…k-2 S est polynôme de degré n. Les (ti,S(ti)) sont appelés points de contrôle. n-1 5 Exemple : La fonction Spline la plus simple est de degré 1, ce qui correspond à un polygone. La plus couramment utilisée est la Spline de degré 3 qui est la Spline cubique vérifiant la propriété suivante :  S’’(a) = S’’(b) = 0 CHAPITRE 3 Modèle BEZIER 3.1 Présentation générale L'interpolation n'est pas toujours très adaptée pour certaines utilisations telles que le dessin par ordinateur, la CAO (conception assistée par ordinateur), etc. C'est dans le domaine de la CAO que les courbes de Bézier ont été inventées et plus précisément dans l'industrie automobile. Dans les années 1960, les machines la commandes numériques sont apparues, il fallait donc décrire les formes (comme les courbes de carrosserie) avec des équations mathématiques. La première solution était d'interpoler linéairement un grand nombre de points. Cette méthode a de nombreux inconvénients :  Pour la machine, il y a beaucoup de paramètres.  Il est impossible d'agrandir (mais aussi de translater, de déformer, . . . ) une partie d'une pièce sans rajouter de points supplémentaires.  Placer des points n'est pas intuitif pour les designers.  Il est très fastidieux de modifier la courbe. Un autre procédé était donc nécessaire pour exprimer une courbe avec peu de paramètres et que ceux ci soient naturels. L'idée révolutionnaire des courbes de Bézier est l'utilisation de points de contrôle et non de points d'interpolation. Cela veut dire que la courbe ne passe pas par les points donnés mais les approche. Les courbes de Bézier ne sont donc pas des interpolations mais des approximations. 3.2 Définition Pierre Bézier a défini les courbes portant son nom en 1972: Une courbe de Bézier de degré n est définie par: Les Pi 0<=i<=n étant n+1 points de contrôle et Les fonctions de base Bi,n(u) 0<=i<=n étant les polynômes de Bernstein: 3.3 Exemple Par exemple 4 points de contrôle définissent une courbe de Bézier de degré 3 dont les fonctions de base sont: B0,3(u) = (1 - u)3 B1,3(u) = 3 * u * (1 - u)2 B2,3(u) = 3 * u2 * (1 - u) 9 B3,3(u) = u3 On voit que Q(0) = P0 et que Q(1) = P1: La courbe passe par son premier et son dernier point de contrôle. On montre que: dQ(0) / du = 3 * (P1 - P0) dQ(1) / du = 3 * (P3 - P2) La courbe est donc tangente à son premier et son dernier segment. On peut mettre la courbe de Bezier de degré 3 sous forme matricielle: Les fonctions de base ont alors pour expression: (B0,B1,B2,B3) = U M La figure suivante montre l´influence respectives de ces fonctions lorsque le paramètre u varie de 0 à 1 Pour u=0.1 par exemple on a: P(0.1) = 0.729 * P0 + 0.243 * P1 + 0.027 * P2 + 0.001 * P3. Ce point est donc beaucoup plus proche de P0 que des autres. Une courbe de Bézier passe par son premier et son dernier point: Q(0) = P0 et Q(1) = Pn Elle est tangente en ses extrémités respectivement au premier et au dernier segment: Q´(0) = n * (P1 - P0) et Q´(1) = n * (Pn - Pn-1) et Elle est toute entière à l´intérieur de l´enveloppe convexe de son polygone de base (voir RP-4-3). Les courbes de Bézier possèdent un contrôle global: Modifier un seul point de contrôle redéfinit la totalité de la courbe (puisque tous ces points interviennent dans l´expression de Q(u)). Ceci est utilisé pour modéliser interactivement des courbes à partir d´un petit nombre de données, mais le fait que le contrôle soit global est un inconvénient qui sera levé par l´utilisation des B-splines (voir RP-7). Construction de Casteljau L´algorithme de Casteljau génère géométriquement les points de la courbe de Bézier: Pour une valeur u (comprise entre 0 et 1) du paramètre, on partage chacun des n segments joignant les points de contrôle dans le rapport u. On obtient ainsi n-1 points sur lesquels on répète l´opération. Le dernier point obtenu est le point P(u) de la courbe. 11 3.4 Avantage Le principal avantage des courbes uploads/Philosophie/ rapport-1.pdf