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Érudit est un consortium interuniversitaire sans but lucratif composé de l'Université de Montréal, l'Université Laval et l'Université du Québec à Montréal. Il a pour mission la promotion et la valorisation de la recherche. Érudit offre des services d'édition numérique de documents scientifiques depuis 1998. Pour communiquer avec les responsables d'Érudit : erudit@umontreal.ca Article Yvon Gauthier Philosophiques, vol. 1, n° 1, 1974, p. 83-105. Pour citer cet article, utiliser l'information suivante : URI: http://id.erudit.org/iderudit/203004ar DOI: 10.7202/203004ar Note : les règles d'écriture des références bibliographiques peuvent varier selon les différents domaines du savoir. Ce document est protégé par la loi sur le droit d'auteur. L'utilisation des services d'Érudit (y compris la reproduction) est assujettie à sa politique d'utilisation que vous pouvez consulter à l'URI http://www.erudit.org/apropos/utilisation.html Document téléchargé le 1 August 2013 05:28 « Constructivisme et structuralisme dans les fondements des mathématiques » CONSTRUCTIVISME ET STRUCTURALISME DANS LES FONDEMENTS DES MATHEMATIQUES * par Yvon Gauthier Mon exposé porte sur les fondements des mathématiques : je veux, dans une première partie, définir ce que j'entends par fondements des mathématiques ; dans une deuxième partie, j'ana- lyserai quelques problèmes fondationnels précis dans les pers- pectives structuraliste et constructiviste que j'aurai préalablement dégagées de la problématique des fondements. Ma conclusion indi- quera quelques voies pour les recherches futures en fondements des mathématiques. 1. Je pense qu'il est peut-être utile tout d'abord de clarifier le statut de la problématique des fondements : l'expression fon- dements des mathématiques est employée souvent dans des sens différents, si ce n'est divergents. J'élimine tout de suite le sens « d'éléments fondamentaux » , de mise en ordre ou d'organisation systématique d'un langage donné, d'un matériau mathématique précis ; par exemple, l'ouvrage de Dieudonné Foundations of modem analysis ou celui d'Eilenberg et Steenrod Foundations of algebraic topology, ne traitent pas des fondements au sens que je définis à l'instant ; les fondements des mathématiques constituent une analyse critique de la pratique mathématique et de sa validité, c'est-à-dire que les fondements prennent pour ob- jet la pratique mathématique, les principes, les concepts fonda- mentaux des mathématiques. Les fondements des mathématiques sont une entreprise à la fois mathématique, logique et philo- sophique ; c'est une discipline de synthèse qui utilise ces * Le structuralisme dont je parle ici n'est pas celui des philosophes. Voir mon article «La notion théorique de structure», Dialectica 23 (1969). 84 PHILOSOPHIQUES divers aspects logiques, mathématiques, et philosophiques ou épistémologiques dans un but théorique précis : la formulation d'une théorie de la pratique mathématique\ Notons que les fondements des mathématiques ne sont pas la philosophie des mathématiques, discipline plus ou moins anachronique dans son acception habituelle qui cherche à proposer du dehors une théo- rie ou des théories concernant la nature des êtres mathématiques et qui tente de décrire, avec plus ou moins de bonheur, la portée et les limites de la pensée mathématique. Notons aussi que les fondements ne coïncident pas avec la logique mathématique, avec laquelle on les confond souvent dans la littérature courante : si les résultats logico-mathématiques peuvent avoir une significa- tion importante pour les fondements, ils sont souvent la suite de la pratique mathématique, plutôt que son analyse critique. Je dirai plus loin comment distinguer plus finement entre les fondements et la logique mathématique. Cette définition préliminaire des fondements des mathéma- tiques doit beaucoup à Georg Kreisel. C'est lui, le premier, qui a doté les fondements des mathématiques d'une spécificité assez grande pour en faire une discipline à part. Historiquement les fondements ont été réduits ou bien à une certaine conception philosophique des mathématiques ou bien à un certain programme de reconstruction des mathématiques, à partir de la logique, par exemple, chez Frege et Russell. Sans doute, celui qui avait à l'origine la conception la plus précise et la plus radicale est Hilbert. On sait qu'il s'agissait pour lui d'as- surer les mathématiques ; il parle d'une « Sicherung », d'une cer- tification sur des bases combinatoires finies d'objets concrets. On sait aussi que ce programme métamathématique a été contredit par les résultats d'incomplétude de Gôdel.2 L'intuitionnisme de 1. Notons ici que nous donnons un sens précis — Kreisélien — à l'expression « fondements des mathématiques » . Pour une perspective différente, yoir l'article de Leon HENKIN, « Mathematical Foundations for Mathematics » dans American Mathematical Monthly, vol. 78, no. 5, pp. 463-487. Il est clair que nous rejetons l'appellation « fondements » pour l'ensemble des recherches logiques ou mathématiques qui portent sur des théories mathématiques fondamentales, mais qui n'ont pas de fonction fondation- nelle comme telle. 2. Voir là-dessus G. KREISEL, « Hilbert's Programme » , Dialecùca, 12 (1958). CONSTRUCTIVISME ET STRUCTURALISME . . . 85 Brouwer en admettant les objets abstraits, comme les fonctions et les fonctionnelles — ici je fais allusion à l'interprétation de Gôdel « Ueber eine bisher noch nicht benutzte Erweiterung des finiten Standpunktes » qui admet des fonctionnelles de type fini avec les seuls procédés de construction, de substitution et de re- cursion — > va plus loin. Le formalisme élargi (où l'on accepte des méthodes constrictives qui ne sont pas finitaires) et l'intuitionnis- me ne sont pas incompatibles à la limite ; ce sont des théories fon- dationnelles convergentes dans la mesure où la théorie des dé- monstrations débouche sur une théorie des constructions mentales, ce qu'est essentiellement l'intuitionnisme. 2. Mais avant de nous engager tilus loin dans la discussion, il faut préciser le rôle de l'entreprise fondationnelle. Les fonde- ments, pour être une analyse critique des principes et des concepts de la pratique mathématique, cherchent à asseoir l'ensemble des mathématiques sur des bases irréductibles, un langage primitif. L'idéal hilbertien de la certification ou de la solidification réap- paraît ici, mais il est couplé à un système conceptuel où les notions primitives sont mises à jour. Cette volonté réduarice, et non pas « réductiviste » , des fondements ne signifie pas qu'il faille réduire les mathématiques à leur plus simple expression, mais plutôt qu'il faut mettre à l'épreuve les notions fondamen- tales, par exemple, en tâchant d'étendre les mathématiques exis- tantes dans des directions où les concepts et les principes de cons- truction mathématique sont mis en relief comme, par exemple, dans la théorie des catégories et dans la théorie des topoi où ressort nettement le caractère géométrique ou algébraico-géomé- trique des constructions 3. J'appelle structurels les principes de construction fondés sur l'usage actuel et les extensions possibles d'un langage mathéma- tique donné sans critiquer ce même langage et ses méthodes ; sont donc constructifs ou constructivistes les principes de construc- 3. Voir G. KREISEL, « Perspectives in the Philosophy of Pure Mathematics » , à paraître. Voir aussi G. Kreisel « Observations on popular discussions of foundations » in Axiomatic Set Theory, American Mathematical Society, (Rhode Island, 1971) , pp. 189-197, où Kreisel s'en prend particulière- ment à PJ. Cohen et A. Robinson. 86 PHILOSOPHIQUES tion qui sont fondés sur une analyse critique du langage utilisé ; l'exemple le plus clair ici, la reconstruction intuitionniste de l'ana- lyse classique. Je reviendrai là-dessus plus loin. Extension, vali- dation, justification ou certification des principes, des méthodes et des concepts mathématiques constituent, par conséquent, le but même des fondements. Les fondements des mathématiques, pour préciser la définition que j'ai déjà proposée, sont une théorie générale des principes et des concepts mathématiques que l'ana- lyse critique dégage de la pratique mathématique. Une telle théo- rie, il va sans dire, n'en est qu'aux premières ébauches ; il faut se garder d'une première méprise qui consisterait à penser que l'analyse de la pratique mathématique doive utiliser les mêmes notions que la pratique. La théorie de la pratique mathématique peut s'éloigner radicalement parfois de la pratique, parfois même les écarts de la théorie et de la pratique sont si grands que la théorie en devient plus ou moins inutile, par exemple, la théorie des types des Principia Mathematica qui, pour contenir trop de notions ad hoc, perd tout contact avec la réalité de la pratique, alors que la théorie contemporaine de Zermelo, appelée main- tenant « structure cumulative des rangs » , pour la théorie axio- matique des ensembles, plus sobre conceptuellement, a été adop- tée par les praticiens. La situation est comparable à la mécanique quantique où l'interprétation indéterministe de Copenhague ap- paraît moins arbitraire que l'interprétation déterministe de Bro- glie ou de Bohm, par exemple. Les fondements des mathématiques, dans le sens défini plus haut, ont selon moi deux versants : un versant structurel ou extensionnel, où le langage ou les langages de la pratique sont employés et élargis afin de clarifier les notions fondamentales et d'en tirer le plus de fruits possibles sur le plan formel, i.e. la logique au sens technique ; l'autre versant, je l'appelle concep- tuel on intensionnel ; c'est l'analyse conceptuelle au sens propre où la pratique mathématique est analysée critiquement4. Ici les notions ou les concepts, les principes et les méthodes sont ra- dicalises, l'analyse tend à les réduire à leur plus petit noyau in- 4. L'analyse critique suppo:e que l'on ne se limite pas à uploads/Philosophie/constructivisme-et-structuralisme-dans-les-fondements-des-mathematiques-par-yvon-gauthier-pdf.pdf