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Année Universitaire 2022 – 2023 Examinateur : Professeur. ADJAMAGBO THEME : LES

Année Universitaire 2022 – 2023 Examinateur : Professeur. ADJAMAGBO THEME : LES LOIS DE MAXWELL Présenté Par membres du groupe 1 0 : MODDOH OCLOO Mazama-esso yaovi Kounou yaovi Elikplim BOKOVI Koffi Wobuibé Sommaires INTRODUCTION I. Théorie de Maxwell-Lorentz dans le vide Équation de Maxwell-Gauss L'équation locale de Maxwell e théorème de Gauss Équation de Maxwell de conservation du flux L'équation locale de Maxwell Introduction du potentiel-vecteur Équation de Maxwell-Faraday L'équation locale Introduction du potentiel électrique Équation de Maxwell-Ampère Équation de conservation de la charge II. Invariance de jauge de la théorie III. Solutions des équations du champ électromagnétisme. Solutions mathématiques des équations de Maxwell dans le vide Introduction des charges électriques Solutions Physiques des équations de Maxwell.  Quantification en électrodynamique classique. Quelques erreurs habituelles IV. Formulation covariante Quadri-gradient Quadri-potentiel Quadri-courantµ Tenseur de Maxwell Équations de Maxwell sous forme covariante Équation de propagation pour le quadri-potentiel en jauge de Lorentz Exemple : les potentiels retardés CONCLUSION BIBLIOGRAPHIE Équations de Maxwell - Définition et Explications 16 1 INTRODUCTION Les équations de Maxwell, aussi appelées équations de Maxwell-Lorentz, sont des lois fondamentales de la physique. Elles constituent les postulats de base de l'électromagnétisme, avec l'expression de la force électromagnétique de Lorentz. Ces équations traduisent sous forme locale différents théorèmes (Gauss, Ampère, Faraday) qui régissaient l'électromagnétisme avant que Maxwell ne les réunisse sous forme d'équations intégrales. Elles donnent ainsi un cadre mathématique précis au concept fondamental de champ introduit en physique par Faraday dans les années 1830. Ces équations montrent notamment qu'en régime stationnaire, les champs électrique et magnétique sont indépendants l'un de l'autre, alors qu'ils ne le sont pas en régime variable. Dans le cas le plus général, il faut donc parler du champ électromagnétique, la dichotomie électrique/magnétique étant une vue de l'esprit. Cet aspect trouve sa formulation définitive dans le formalisme covariant présenté dans la seconde partie de cet article : le champ électromagnétique y est représenté par un être mathématique unique de type tenseur, le " tenseur de Maxwell ", dont certaines composantes s'identifient à celles du champ électrique et d'autres à celles du champ magnétique. Théorie de Maxwell-Lorentz dans le vide On présente ci-dessous la théorie microscopique fondamentale qui donne les équations de Maxwell-Lorentz dans le vide en présence de sources, qui peuvent être des charges ponctuelles et/ou leurs courants électriques microscopiques associés si ces charges sont en mouvement dans le référentiel d'étude. 2 Cet article fait partie de la série formulaire de physique La théorie macroscopique nécessitant l'introduction des champs D et H (et les équations de Maxwell associées) sont discutés en détails dans l'article : Électrodynamique des milieux continus. On note :  est la densité de charge électrique locale au point à l'instant t.  le vecteur densité de courant.  le vecteur champ électrique.  le vecteur champ magnétique.  la permittivité diélectrique du vide.  la perméabilité magnétique du vide. Équation de Maxwell-Gauss L'équation locale de Maxwell Cette équation locale donne la divergence du champ électrique en fonction de la densité de la charge électrique. Elle s'écrit : Cette équation correspond à un " terme de source " : la densité de charge électrique est une source du champ électrique. Par exemple, pour une charge ponctuelle fixée à l'origine , la loi de Coulomb donnant le champ électrostatique en un point de l'espace, point repéré par le vecteur position où est le vecteur unitaire radial, s'écrit : Ce champ électrostatique vérifie l'équation de Maxwell-Gauss pour la source statique : où est la distribution de Dirac dans l'espace à trois dimensions. 3 Le théorème de Gauss L'équation de Maxwell-Gauss est héritée du théorème de Gauss, qui permet de lier le flux du champ électrique à travers une surface fermée, à la charge intérieure à cette surface : où est une surface fermée arbitraire, appelée surface de Gauss, et la charge électrique totale intérieure à cette surface [1]. Équation de Maxwell de conservation du flux Le flux du champ magnétique à travers une surface fermée est toujours identiquement nul : L'équation locale de Maxwell Cette équation locale est au champ magnétique ce que l'équation de Maxwell- Gauss est au champ électrique, à savoir une équation avec " terme de source ", ici identiquement nul : Elle traduit le fait expérimental suivant : il n'existe pas de monopôle magnétique. Un monopôle magnétique serait une source ponctuelle de champ magnétique, analogue de la charge électrique ponctuelle pour le champ électrique. Or, l'objet de base source d'un champ magnétique est l'aimant, qui se comporte comme un dipôle magnétique : un aimant possède en effet un pôle nord et un pôle sud. L'expérience fondamentale consistant à tenter de couper un aimant en deux donne naissance à deux aimants, et non un pôle nord et un pôle sud séparément[2]. Introduction du potentiel-vecteur L'analyse vectorielle montre que la divergence d'un rotationnel est toujours identiquement nulle : 4 Réciproquement, toute fonction dont la divergence est identiquement nulle peut être exprimée sous la forme d'un rotationnel. L'équation locale de conservation du flux magnétique permet donc de définir au moins localement[3] un potentiel-vecteur tel que : Le problème important de l'unicité du potentiel-vecteur est discuté plus loin au paragraphe : Invariance de jauge de la théorie. Équation de Maxwell-Faraday Cette équation locale traduit le phénomène fondamental d'induction électromagnétique découvert par Faraday. L'équation locale Elle donne le rotationnel du champ électrique en fonction de la dérivée temporelle du champ magnétique : Cela correspond à un " terme variationelle " : la variation du champ magnétique crée un champ électrique. Sa forme intégrale est la loi de Faraday : où est la force électromotrice d'induction dans un circuit électrique et le flux magnétique à travers ce circuit. Introduction du potentiel électrique L'analyse vectorielle montre que le rotationnel d'un gradient est toujours identiquement nul : 5 L'équation de Maxwell-Faraday couplée à l'existence locale d'un potentiel- vecteur permettent de définir (au moins localement) le potentiel électrique (scalaire) tel que : Le problème important de l'unicité du potentiel électrique est discuté plus loin au paragraphe : Invariance de jauge de la théorie. Équation de Maxwell-Ampère L'équation locale de Maxwell Cette équation est héritée du théorème d'Ampère. Sous forme locale, elle s'écrit en termes du vecteur densité de courant : Introduction du courant de déplacement L'équation précédente peut se réécrire : en introduisant le courant de déplacement de Maxwell : La forme intégrale lie la circulation du champ magnétique sur un contour C fermé, et les courants qui traversent la surface s'appuyant sur ce contour : Équation de conservation de la charge Prenons la divergence de l'équation de Maxwell-Ampère : 6 On peut écrire en permutant les dérivées spatiales et temporelles, puis en utilisant l'équation de Maxwell-Gauss : On obtient finalement l'équation locale de conservation de la charge électrique : Le lecteur aura noté la présence essentielle du terme de courant de déplacement introduit par Maxwell pour l'obtention de cette équation. I. Invariance de jauge de la théorie L'analyse vectorielle montre que la divergence d'un rotationnel est toujours identiquement nulle : L'équation locale de conservation du flux magnétique permet donc de définir au moins localement [4] un potentiel-vecteur tel que : L'analyse vectorielle nous dit également que Alors le potentiel-vecteur n'est pas défini de manière unique puisque la transformation suivante, avec une fonction quelconque 7 ne modifie par la valeur du champ . Ceci est un exemple de transformation de jauge. Il faut donc imposer des conditions supplémentaire pour déterminer de façon non-ambigüe. On appelle cela des conditions de jauge, par exemple la jauge de Coulomb ou encore la jauge de Lorenz. Le lecteur notera qu'en physique classique, le potentiel-vecteur semble n'être qu'un outil mathématique commode pour analyser les solutions des équations de Maxwell, mais ne semble pas être une grandeur physique directement mesurable. En 1959, dans le cadre de la physique quantique, Aharonov et Bohm ont démontré[5] que le potentiel-vecteur avait un effet observable en mécanique quantique : c'est l'effet Bohm-Aharonov. L'analyse vectorielle montre que le rotationnel d'un gradient est toujours identiquement nul : L'équation de Maxwell-Faraday couplée à l'existence locale d'un potentiel- vecteur permettent de définir (au moins localement) le potentiel électrique (scalaire) tel que : Le potentiel lui non plus n'est pas défini de façon unique mais la transformation de jauge associée est liée à celle de est la suivante (on rappelle celle de par souci de clarté) et on a Ces deux équations donnent l'invariance de jauge complète des équations de Maxwell. II. Solutions des équations du champ électromagnétisme. Pour simplifier, conformément à la pratique, nous attribuerons ces équations à Maxwell, en les appelant " équations de Maxwell " (EM). 8 Solutions mathématiques des équations de Maxwell dans le vide. Résolvons les EM dans l 'espace éventuellement limité par des conditions qui gardent la linéarité. Représentons des solutions par des lettres Q, R , ...( ensembles des 6- vecteurs formés des six composantes du champ en tout point de coordonnées x, y, z, t ). Par définition de la linéarité, αQ + βR + ... , où α , β ... sont des constantes réelles est uploads/Philosophie/ theme-autorecovered.pdf