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Direction des bibliothèques AVIS Ce document a été numérisé par la Division de la gestion des documents et des archives de l’Université de Montréal. L’auteur a autorisé l’Université de Montréal à reproduire et diffuser, en totalité ou en partie, par quelque moyen que ce soit et sur quelque support que ce soit, et exclusivement à des fins non lucratives d’enseignement et de recherche, des copies de ce mémoire ou de cette thèse. L’auteur et les coauteurs le cas échéant conservent la propriété du droit d’auteur et des droits moraux qui protègent ce document. Ni la thèse ou le mémoire, ni des extraits substantiels de ce document, ne doivent être imprimés ou autrement reproduits sans l’autorisation de l’auteur. Afin de se conformer à la Loi canadienne sur la protection des renseignements personnels, quelques formulaires secondaires, coordonnées ou signatures intégrées au texte ont pu être enlevés de ce document. Bien que cela ait pu affecter la pagination, il n’y a aucun contenu manquant. NOTICE This document was digitized by the Records Management & Archives Division of Université de Montréal. The author of this thesis or dissertation has granted a nonexclusive license allowing Université de Montréal to reproduce and publish the document, in part or in whole, and in any format, solely for noncommercial educational and research purposes. The author and co-authors if applicable retain copyright ownership and moral rights in this document. Neither the whole thesis or dissertation, nor substantial extracts from it, may be printed or otherwise reproduced without the author’s permission. In compliance with the Canadian Privacy Act some supporting forms, contact information or signatures may have been removed from the document. While this may affect the document page count, it does not represent any loss of content from the document. ( Université de Montréal Types de généralisations et épistémologie des mathématiques: de l'intégrale de Cauchy à l'intégrale de Lebesgue Par Jean-Philippe Villeneuve Département de philosophie. Faculté des arts et des sciences Thèse présentée à la Faculté des études supérieures en vue de l'obtention du grade de Doctorat. en philosophie Août, 2007 copyright, J ean-Philippe Villeneuve, 2007 Université de Montréal Faculté des études supérieures Cette thèse intitulée: Types de généralisations et épistémologie des mathématiques: de l'intégrale de Cauchy à l'intégrale de Lebesgue Présenté par : Jean -Philippe Villeneuve . a été évaluée par ~ jury composé des personnes suivantes: François Lepage président-rapporteur Jean-Pierre Marquis directeur de recherche François Duchesneau membre du jury Mathieu Marion examinateur externe François Lepage représentant du doyen de la FES III Résumé Nous proposons une réflexion sur les processus de généralisations non pas des énoncés, mais des notions mathématiques. Pour ce faire, nous résumerons d'abord les recherches faites sur la généralisation par les mathématiciens George Polya et Sawiders Mac Lane, le philosophe Imre Lakatos et le psychologue Jean Piaget. Ces quelques recherches, car peu de recherches ont été fai~es sur la généralisation, et nos réflexions nous amèneront à considérer deux types de généralisations. La première est la généralisation logique ou l'~férence inductive. Elle. porte initialement sur les énoncés et, comme nous nous sommes plutôt intéressés à la généralisation de notions, nous développerons la généralisation logique étendue, laquelle sera caractérisée par une relation ftxe-variable entre la notion initiale et la nouvelle notion. La ,seconde est celle que nous appellerons la généralisation notionnelle et peut être illustrée par cet exemple: la notion de félin est une généralisation notionnelle de la notion de chat, car tous les chats sont des félins, mais il existe des félins qui ne sont pas des chats. , Notons que nous trouverons une caractérisation commune à ces deux processus: l'extension de la notion initiale est striCtement incluse dans l'extension de la nouvell~ notion. Ensuite,' nous produirons une étude historique sur la notion mathématique d'intégrale telle que développée au 19< siècle par les mathématiciens Cauchy, Dirichlet, Lipschitz~ Riemann, Darboux, Jordan et Lebesgue. Cette étude nous permettra d'établir un lien entre les processus de généralisation et les processus de changement de notions. Nous proposerons deux types de changem~nts : la nouvelle interprétation lorsque la nouvelle notion se déftnit de la même façon que la notion initiale et la réinterprétation lorsque la -notion initiale est redéftnie. Dans le premier cas, nous retrouverons une relation ftxe-variable entre les notions et ainsi un lien fort avec la généralisation logique. Ce ne sera pas le cas pour le second cas, car il sera possible qu'une notion soit réinterprétée, et ce, sans qu'il y ait généralisation. ' Ajoutons en terminant que nous avons développé ,une variante de la logique typée pour formaliser nos résultats. Mots-clés: Philosophie, Philosophie des mathématiques, Épistémologie des mathématiques, Généralisation, Intégrale, Histoire de l'analyse mathématique. IV Abstract We offer a study on the process of generalization, not of statements but of mathematical notiOns. We will first consider research on that process by two mathematicians, George Polya and Saunders Mac Lane, a philosopher, Imre Lakatos and a psychologist, Jean Piaget. That relatively small research corpus represents almost ail of the research published on the subject, because little research has been done on generalization. Our analysis enables us to introduce two types of generalization. The first type is thelogical generalization or the inductive inference. Initially this process only applies to statements and, because our considerations are mathematicai notions, we will develop the extended logical generalization process which will be characterized by a flXed-variable relation between the initial notion and the new notion. The second type is what we will cail the "notional" generalization process. This process can be illustrated as foilows: the notion of feline is a notional generalization of the notion of cat, because all cats are felines' but there are sorne felines that are not cats. In both processes, we will find that the extension of the initial notion is strictly included in the extension of the new notion. Foilowing that analysis and also to illustrate it, we will produce an historical study of the mathematical notion of integral as developed in the 19<11 century by Cauchy, Dirichlet, L,ipschitz, Riemann, Darboux, Jordan and Lebesgue. This study will enable us to link the generalization process with the notion of change process. To that effect, we will propose two types of change: the new interpretation, when the new notion is defined in the same way of the initial notion, and the reinterpretation, when the initial notion is redefmed completely. In the first case, we will find a fix- variable relation between notions and, by the way, a strong link with the logical generalization process. This will not be the case for the second case, because it will be possible to fmd a notion that can be reinterpreted without being generalized . . Note that we will also develop avariant of typed logic to formalize our results. Key Wordso: Philosophy, Philosophy of Mathematics, Theory of Mathematical Knowledge, Generalization, Integral, History of Mathematical Analysis. / v Table des matières In troduction Précision et rigueur d'un langage formel 1 1 La méthodologie 3 1.1 La justification de l'utilisation de la logique typée 3 1.2 La justification du èhoix de notre étude de cas 5 2 Le plan sommaire de la thèse 7 Chapitre 1 : Revue de littérature Les processus de généralisation dans la littérature 10 1 Polya et la résolution de problèmes 11 1.1 La généralisation des énoncés 11 1.2 La généralisation de notions 13 1.3 La généralisation en terme d'extènsion d'une notion 15 2 Mac Lane et les exemples mathématiques 15 2.1 Les sortes de généralisations . 17 2.2 Les sortes d'abstractions 21 2.3 Les exemples mathématiques 25 3 Lakatos et la méthode de preuves et réfutations 26 3.1 La généralisation dans la méthode de preuves et réfutations 26 3.2 Une mise en garde quant à la portée de nos résultats 27 4 La généralisation et l'abstraction dans la théorie de Piaget 28 4.1 La place de Piaget dans nos recherches 29 4.2 Les processus d'assimilation et d'accommodation 30 4.3 Les processus d'abstraction simple et réfléchissante 36 4.4 Les nouvelles interprétations et les réinterprétations 42 5 Les processus d'abstraction dans la littérature philosophique 44 6 . Manques et lacunes· 45 Chapitre 2 : Résultats préliminaires Logique typée) formalisation des notions mathématiques et des processus de généralisation 48 1- Notre versio~ de la logique typée 49 1.1 Le type et ses sortes 50 1.2 La syntaxe 51 1.3 Les formalisations possibles -56 ·2 La formalisation des notions mathématiques 58 2.1 Les définitions par compréhension 58 2.2 L'extension d'une notion et ses conditions de validité 64 2.3 Les conditions d'utilisation de notions mathématiques 68 2.4 Les trois types de notions mathématiques 68 3 La généralisation des propriétés-mathématiques 69 3.1 La généralisation logique 70 3.2 Les nouvelles interprétations 75 3.3 Les réinterprétations 79 3.4 Les types de généralisations 83 4 En route vers notre étude de cas 84 Chapitre 3 : Étude de cas La généralisation dans les travaux sur la notion· d'intégrale au 1ge siècle 85 1 Le résumé de notre étude de cas 85 2 Cauchy et l'intégrale définie 88 2.1 Les sommes de Cauchy 88 2.2 L'intégrale de Cauchy pour les uploads/Philosophie/ villeneuve-jean-philippe-2008-these 1 .pdf