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http://xmaths.free.fr 1ère S − Probabilités − Loi binomiale - Échantillonnage p

http://xmaths.free.fr 1ère S − Probabilités − Loi binomiale - Échantillonnage page 1 / 10 PROBABILITÉS Loi binomiale - Échantillonnage I Épreuve de Bernoulli - Loi binomiale Exemple On lance deux fois une pièce de monnaie parfaitement équilibrée. Les deux lancers sont indépendants (c'est-à-dire que le résultat du second lancer ne dépend pas du résultat du premier). À chaque lancer, on a p(F) = p(P) = 1 2 On peut représenter la succession des deux lancers par un arbre et faire figurer les probabilités sur chaque branche de cet arbre. (On dit dans ce cas qu'il s'agit d'un arbre pondéré) La probabilité d'obtenir deux fois "Face" est p(F,F) = 1 2 x 1 2 = 1 4 La probabilité d'obtenir deux fois "Pile" est p(P,P) = 1 2 x 1 2 = 1 4 La probabilité d'obtenir "Face" suivi de "Pile" est p(F,P) = 1 2 x 1 2 = 1 4 La probabilité d'obtenir "Pile" suivi de "Face" est p(P,F) = 1 2 x 1 2 = 1 4 Exercice 01 (voir réponses et correction) Une pièce n'est pas parfaitement équilibrée. En effectuant un grand nombre de lancers, on a remarqué que "Face" est obtenu dans 40% des cas et "Pile" dans 60% des cas. On admet donc qu'à chaque lancer, on a p(F) = 2 5 et p(P) = 3 5 . On lance deux fois cette pièce de monnaie. Les deux lancers sont indépendants. 1°) Représenter la situation par un arbre et faire figurer les probabilités sur chaque branche de cet arbre. 2°) Déterminer p(P,P) et p(F,F). 3°) Déterminer la probabilité de l'événement E : « obtenir une fois "Pile" et une fois "Face" ». 4°) On considère la variable aléatoire X qui à chaque éventualité fait correspondre le nombre de fois que l'on a obtenu "Face". Donner la loi de probabilité de X et calculer l'espérance mathématique de X. Exercice 02 (voir réponses et correction) Un magasin organise un jeu. Chaque personne entrant dans le magasin reçoit un billet portant l'un des trois numéros : 0 ; 2 ou 5. Pour chaque personne entrant dans le magasin, la probabilité de recevoir un billet portant le numéro 0 est p(0) = 0,5 et la probabilité de recevoir un billet portant le numéro 2 est p(2) = 0,4. • Un billet numéro 0 est un billet perdant. • Un billet numéro 2 est un billet gagnant un stylo. • Un billet numéro 5 est un billet gagnant une montre. Un couple rentre dans un magasin et chacune des deux personnes du couple reçoit un billet. 1°) Reproduire et terminer l'arbre pondéré ci-contre représentant la situation. 2°) Calculer la probabilité des événements suivants : a) Le couple ne gagne rien ; b) Le couple gagne deux montres ; c) Le couple gagne une montre et un stylo ; d) Le couple gagne uniquement un stylo. F P F P F P 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 2 5 0 2 5 0 0,5 0,4 http://xmaths.free.fr 1ère S − Probabilités − Loi binomiale - Échantillonnage page 2 / 10 Exercice 03 (voir réponses et correction) On utilise une pièce de monnaie dont on ne sait pas si elle est équilibrée. Pour cette pièce on suppose que la probabilité d'obtenir "Face" est un nombre réel p de l'intervalle [0 ; 1]. 1°) Donner la valeur de la probabilité d'obtenir "Pile". 2°) On lance deux fois cette pièce de monnaie. Les deux lancers sont indépendants. a) Représenter la situation par un arbre pondéré. b) On considère la variable aléatoire X qui à chaque éventualité fait correspondre le nombre de fois que l'on a obtenu "Face". Donner la loi de probabilité de X et calculer l'espérance mathématique de X. Exercice 04 (voir réponses et correction) On jette un dé cubique équilibré. Ce dé comporte deux faces vertes, trois faces bleues et une face rouge. On note la couleur apparaissant sur la face supérieure. Si une face verte apparaît, on gagne 10 € ; si une face bleue apparaît, on gagne 20 € ; si une face rouge apparaît on gagne 50 €. On jette deux fois de suite ce dé, de façon indépendante. 1°) Représenter la situation par un arbre pondéré. 2°) On note G la variable aléatoire correspondant au gain obtenu à la suite des deux lancers. a) Compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de G Gain 20 30 Probabilité b) Calculer l'espérance mathématique de G c) Pour pouvoir faire les deux lancers, une personne doit miser 50 €. Un joueur peut-il espérer gagner sur le long terme ? Définition On appelle épreuve de Bernoulli une épreuve ayant deux éventualités : S (succès) et  S (échec). La loi de Bernoulli de paramètre p associe à l'événement S la probabilité p et à  S la probabilité 1 - p . Exemple On considère une épreuve de Bernoulli, les deux éventualités sont S : "Succès" et E =  S : "Échec". Notons p(S) = p et p(E) = 1 - p. On répète trois fois cette épreuve, de manière indépendante, et on s'intéresse au nombre de Succès que l'on obtient sur les trois essais. On peut traduire la situation par un arbre de probabilités : S 3 Succès S E 2 Succès S S 2 Succès E E 1 Succès S 2 Succès S E 1 Succès E S 1 Succès E E 0 Succès D'après l'arbre, la probabilité d'obtenir la suite (S ; S ; E) est : p x p x (1 - p) = p2(1 - p) De même la probabilité de (S ; E ; S) est p2(1 - p) et la probabilité de (E ; S ; S) est aussi p2(1 - p) La probabilité d'obtenir exactement deux Succès sur les trois essais est la probabilité de l'événement : {(S ; S ; E) ;(S ; E ; S) ; (E ; S ; S)}. Elle est donc égale à 3 x p2(1 - p) . En notant xi le nombre de Succès obtenus sur les trois essais, on peut justifier que l'on obtient la loi de probabilité ci-dessous : xi 0 1 2 3 pi (1 - p)3 3p(1 - p)2 3p2(1 - p) p3 p 1-p p 1-p p 1-p p 1-p p 1-p p 1-p p 1-p http://xmaths.free.fr 1ère S − Probabilités − Loi binomiale - Échantillonnage page 3 / 10 Exercice 05 (voir réponses et correction) 73 % d'une population déterminée, possède un ordinateur. Lorsqu'on interroge une personne dans cette population, on note : O l'événement : « la personne possède un ordinateur » et  O : « la personne ne possède pas d'ordinateur ». 1°) Quelle est la probabilité de  O ? 2°) On interroge successivement, au hasard et de façon indépendante trois personnes dans cette population. a) Terminer et compléter l'arbre ci-contre. b) Quelle est la probabilité que les trois personnes interrogées aient un ordinateur. c) Quelle est la probabilité qu'aucune des trois personnes interrogées n'ait un ordinateur. d) Quelle est la probabilité qu'une exactement des trois personnes interrogées ait un ordinateur (et que les deux autres n'en aient pas). Exercice 06 (voir réponses et correction) La société qui imprime des tickets pour un jeu de grattage a reçu la consigne d'imprimer 5 % de tickets gagnants. Ces tickets gagnants sont soigneusement mélangés avec les autres tickets qui eux sont perdants. Lorsqu'une personne achète un ticket, on note : G l'événement : « le ticket est gagnant » ; P l'événement : « le ticket est perdant ». Une personne achète trois tickets. 1°) Terminer et compléter l'arbre ci-contre. (On indiquera les probabilités sur les branches) 2°) Quelle est la probabilité que les trois tickets achetés soient gagnants. 3°) Justifier que la probabilité qu'un seul des trois tickets soit gagnant est égale à 0,135375. 4°) On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de tickets gagnants obtenus (sur les trois tickets achetés). Donner la loi de probabilité de X. Calculer l'espérance mathématique de X. Exercice 07 (voir réponses et correction) Dans les mêmes conditions que pour l'exercice 06 on suppose maintenant que la personne achète quatre tickets. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de tickets gagnants obtenus (sur les quatre tickets achetés). Donner la loi de probabilité de X. Calculer l'espérance mathématique de X. Définition On appelle schéma de Bernoulli, la répétition n fois, de manière indépendante, d'une épreuve de Bernoulli. Si X est la variable aléatoire correspondant au nombre de succès à l'issue du schéma de Bernoulli, on appelle loi binomiale la loi de probabilité de la variable aléatoire X. Exemples Dans les exercices 06 et 07, on a déterminé la loi binomiale correspondant à un schéma de Bernoulli avec 3 répétitions et 4 répétitions. Définition On répète n fois, de manière indépendante, une épreuve de Bernoulli et on considère l'arbre correspondant à cette répétition. On appelle coefficient binomial     n k le nombre de chemins de l'arbre réalisant k uploads/Religion/ 1-sprb-2-cours.pdf