Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

TERMINALE ES/L CONVEXITÉ I. FONCTION CONVEXE – FONCTION CONCAVE DÉFINITION Soie

TERMINALE ES/L CONVEXITÉ I. FONCTION CONVEXE – FONCTION CONCAVE DÉFINITION Soient f une fonction dérivable sur un intervalle I et C sa courbe représentative. On dit que f est convexe sur I si la courbe C est au-dessus de toutes ses tangentes sur l’intervalle I . On dit que f est concave sur I si la courbe C est au-dessous de toutes ses tangentes sur l’intervalle I . EXEMPLES MATHS-COURS.FR - COURS ET EXERCICES DE MATHÉMATIQUES f f f THÉORÈME Si f est dérivable sur I : f est convexe sur I si et seulement si f est croissante sur I f est concave sur I si et seulement si f est décroissante sur I REMARQUE L’étude de la convexité se ramène donc à l’étude des variations de f . Si f est dérivable, on donc est amené a étudier le signe la dérivée de f . Cette dérivée s’appelle la dérivée seconde de f et se note f . THÉORÈME Si f est dérivable sur I et si f est dérivable sur I (on dit aussi que f est 2 fois dérivable sur I ) : f est convexe sur I si et seulement si f est positive ou nulle sur I f est concave sur I si et seulement si f est négative ou nulle sur I ′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′′ ′′ EXEMPLES La fonction f : x ↦x est deux fois dérivable sur R . f x = 2x et f x = 2 . Comme f est positive sur R , f est convexe sur R . La fonction f : x ↦x est deux fois dérivable sur R . f x = 3x et f x = 6x . f ⩾0 sur 0; +∞, donc f est convexe sur 0; +∞. f ⩽0 sur −∞; 0 , donc f est concave sur −∞; 0 . II. POINT D’INFLEXION DÉFINITION Soient f une fonction dérivable sur un intervalle I , C sa courbe représentative et A a; f a un point de la courbe C . On dit que A est un point d’inflexion de la courbe C , si et seulement si la courbe C traverse sa tangente en A. EXEMPLE PROPRIÉTÉ Si A est un point d’inflexion d’abscisse a , f passe de concave à convexe ou de convexe à concave en a . 2 ′ ( ) ′′ ( ) ′′ 3 ′ ( ) 2 ′′ ( ) ′′ [ [ [ [ ′′ ] ] ] ] f ( ( )) f f f THÉORÈME Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I de courbe représentative C . Le point A d’abscisse a est un point d’inflexion de C si et seulement si f s’annule et change de signe en a . EXEMPLE Le graphique de l’exemple précédent correspond à la fonction définie par : f x = x −x + 1 On a f x = x −2x et f x = 2x −2 . On vérifie bien que f change de signe en 1 . Donc le point A d’abscisse 1 et d’ordonnée f 1 = est bien un point d’inflexion. © 2016 - Maths-cours.fr f f ′′ ( ) 3 1 3 2 ′ ( ) 2 ′′ ( ) ′′ ( ) 3 1 uploads/Religion/ convexite.pdf