MPSI2 À RENDRE LE 16.10.20 DEVOIR MAISON 4 EXERCICE 1 : SOMMES D’ARCTANGENTES L
MPSI2 À RENDRE LE 16.10.20 DEVOIR MAISON 4 EXERCICE 1 : SOMMES D’ARCTANGENTES Le but de l’exercice est d’obtenir une formule pour Arctan(x) + Arctan(y), où x,y sont deux réels. 0. Question préliminaire : montrer que Arctan( √ 3) + Arctan(1) et Arctan −2 − √ 3 ont la même tan- gente. Pourquoi sont-ils diférents ? I. Première méthode : une preuve trigonométrique 1. Pour a ∈ −π 2 , π 2 , donner une expression de cos2(a) en fonction de tan(a). 2. En déduire que pour tout x ∈R, cos(Arctan(x)) = 1 √ 1 + x2 . 3. Prouver alors que pour tout x ∈R, sin(Arctan(x)) = x √ 1 + x2 . 4. Montrer que : ∀(x,y) ∈R2, cos(Arctan(x) + Arctan(y)) = 1 −xy √ 1 + x2p 1 + y2 . 5. En déduire que pour tous réels x,y tels que xy , 1, Arctan(x) + Arctan(y) ∈] −π, π[\ −π 2 , π 2 . 6. Simplifier alors, pour xy , 1, tan(Arctan(x) + Arctan(y)). 7. Premier cas : on suppose quexy < 1. En utilisant la question 4, montrer que Arctan(x) + Arctan(y) ∈ −π 2 , π 2 . En déduire alors que Arctan(x) + Arctan(y) = Arctan x + y 1 −xy ! . 8. Second cas : on suppose à présent que xy > 1 et x ⩾0. Montrer que Arctan(x) + Arctan(y) ∈ π 2 , π et en déduire que Arctan(x) + Arctan(y) = Arctan x + y 1 −xy ! + π. 9. Troisième cas : en vous inspirant de la question précédente, donner une formule reliant Arctan(x) + Arctan(y) à Arctan x + y 1 −xy ! dans le cas où xy < 1 et x < 0. 10. Si x et y sont deux réels tels que xy = 1, simplifier Arctan(x) + Arctan(y) à l’aide d’un résultat du cours. II. Seconde méthode : avec du calcul diférentiel Cette partie est facultative. On considère à présent y ∈R∗fixé, et on note φy la fonction φy : x 7→Arctan x + y 1 −xy ! . 11. Déterminer le domaine de définition Dy de φy. 12. Montrer que φy est dérivable sur Dy, et montrer que pour tout x ∈Dy, φ′ y(x) = 1 1 + x2 . 13. Retrouver alors les résultats des questions 7,8 et 9. III. Bonus : la formule de Machin 14. Pour x ∈[0, 1[, exprimer 2 Arctan(x) sous forme d’une arctangente. 15. En déduire que 4 Arctan 1 5 ! = Arctan 120 119 ! . MPSI2 LYCÉE CHAMPOLLION 2020–2021 16. Prouver alors la formule de JOHN MACHIN (1680–1751) : π 4 = 4 Arctan 1 5 ! −Arctan 1 239 ! . Cette formule d’apparence anecdotique a en fait une importance historique, puisque couplée à une formule qui permet le calcul efcace de valeurs approchées des arctangentes, elle a permis dès 1706 le calcul de 100 décimales de π. Jusqu’au début du XXème siècle cette formule et ses variantes formaient la meilleure solution pour le calcul des décimales de π. EXERCICE : AUTOUR DE LA SÉRIE HARMONIQUE Partie I. Un calcul de somme Pour tout n ∈N∗, on pose Sn = n X k=1 1 k n k ! (−1)k−1 et Hn = n X k=1 1 k . 1. Prouver que pour tout n ∈N∗, Sn+1 −Sn = n+1 X k=1 1 k " n + 1 k ! − n k !# (−1)k−1. 2. Pour (n,k) ∈N × N∗, exprimer 1 k n k −1 ! en fonction de n + 1 k ! . 3. Montrer alors que pour tout n ∈N∗, Sn+1 −Sn = 1 n + 1. 4. En déduire, sans récurrence, que pour tout n ∈N∗, Sn = Hn. Partie II. Un équivalent de Hn Cette partie est facultative. 5. Justifier que (Hn)n⩾1 possède une limite finie ou égale à +∞. 6. Prouver que pour tout n ∈N∗, H2n −Hn ⩾1 2. En déduire lim n→+∞Hn. 7. a. Soit k un entier supérieur ou égal à 2. Sans calculer les intégrales en jeu, montrer que Z k+1 k dt t ⩽1 k ⩽ Z k k−1 dt t . b. En déduire que pour tout n ⩾2, Z n 1 dt t + ln 1 + 1 n ! ⩽Hn ⩽1 + Z n 1 dt t . c. Prouver alors que lim n→+∞ Sn lnn = 1. MPSI2 LYCÉE CHAMPOLLION 2020–2021 CORRECTION 1 CORRECTION DU DEVOIR MAISON 4 PROBLÈME : SOMMES D’ARCTANGENTES 0. On a tan Arctan( √ 3) + Arctan(1) = tan(Arctan( √ 3)) + tan(Arctan(1)) 1 −tan(Arctan( √ 3)) tan(Arctan(1)) = 1 + √ 3 1 − √ 3 = (1 + √ 3)2 −2 = −2 − √ 3 = tan Arctan −2 − √ 3 . Pour autant, puisque Arctan(−2 − √ 3) ⩽0 et Arctan( √ 3) + Arctan(1) > 0, donc ces deux nombres ne sauraient être égaux. 1. C’est un grand classique : on sait1 1 Ce sont les deux formes de la dérivée de t 7→tan t. que 1 + tan2(a) = 1 cos2(a), et donc cos2(a) = 1 1 + tan2(a). 2. Puisque pour tout x ∈R, Arctan(x) ∈ −π 2 , π 2 , son cosinus est positif. Et donc cos(Arctan(x)) = q cos2(Arctan(x)) = s 1 1 + tan2(Arctan(x)) = 1 √ 1 + x2 . 3. On a donc, pour tout x ∈R, sin2(Arctan(x)) = 1−cos2(Arctan(x)) = 1− 1 1 + x2 = x2 1 + x2 . Cette fois, le sinus n’est pas toujours positif. Toutefois, notons que si x ⩾0, alors Arctan(x) ∈ 0, π 2 et donc sin(Arctan(x)) ⩾0, de sorte que sin(Arctan(x)) = q sin2(Arctan(x)) = r x2 1 + x2 = x √ 1 + x2 . En revanche, si x ⩽0, alors Arctan(x) ∈ −π 2 , 0 et donc sin(Arctan(x)) ⩽0. Et donc sin(Arctan(x)) = − q sin2(Arctan(x)) = − |x| √ 1 + x2 = x √ 1 + x2 . 4. Il s’agit cette fois d’utiliser la formule d’addition pour le cosinus : pour x,y réels, cos(Arctan(x) + Arctan(y)) = cos(Arctan(x)) cos(Arctan(y)) −sin(Arctan(x)) sin(Arctan(y)) = 1 √ 1 + x2 1 p 1 + y2 − x √ 1 + x2 y p 1 + y2 = 1 −xy √ 1 + x2p 1 + y2 . 5. Puisque chacun des deux nombres Arctan(x) et Arctan(y) est dans −π 2 , π 2 , leur somme est dans ] −π, π[. Et comme xy , 1, cos(Arctan(x) + Arctan(y)) , 0, de sorte que Arctan(x) + Arctan(y) ne peut être égal à ±π 2 . 6. Utilisons la formule pour tan(a + b), qui s’applique bien ici puisque les trois nombres Arctan(x), Arctan(y) et Arctan(x)+Arctan(y) ne sont pas congrus à π 2 modulo π. La formule pour tan(a + b) ne s’applique que si les trois nombres tan a, tanb et tan(a + b) sont bien défi- nis. C’est-à-dire lorsque a, b et a + b ne sont pas congrus à π 2 modulo 2π. Rappel Il vient alors tan(Arctan(x) + Arctan(y)) = tan(Arctan(x)) + tan(Arctan(y)) 1 −tan(Arctan(x)) tan(Arctan(y)) = x + y 1 −xy . MPSI2 LYCÉE CHAMPOLLION 2020–2021 M. VIENNEY 2 DEVOIR MAISON 4 7. Premier cas. Il s’agit de remarquer que 1 −xy > 0, et donc cos(Arctan(x) + Arctan(y)) ⩾0. Mais un réel de ] −π, π[ ne possède un cosinus strictement positif que s’il est dans −π 2 , π 2 , de sorte que Arctan(x) + Arctan(y) ∈ −π 2 , π 2 . Nous avons donc prouvé que Arctan(x) + Arctan(y) est un réel de −π 2 , π 2 dont la tan- gente vaut x + y 1 −xy . Or, il existe un seul tel réel, c’est Arctan x + y 1 −xy ! . Et donc Arctan(x) + Arctan(y) = Arctan x + y 1 −xy ! . 8. Second cas : cette fois, cos (Arctan(x) + Arctan(y)) < 0, de sorte que Arctan(x) + Arctan(y) ∈ −π, −π 2 ∪ π 2 , π . Mais puisque x > 0, Arctan(x) ⩾0, de sorte que Arctan(x)+Arctan(y) ⩾Arctan(y) > −π 2 . Donc nécessairement, Arctan(x) + Arctan(y) ∈ π 2 , π . Mais alors Arctan(x) + Arctan(y) −π ∈ −π 2 , 0 ⊂ −π 2 , π 2 . Et de plus, par π-périodicité de la fonction tangente, tan (Arctan(x) + Arctan(y) + π) = tan (Arctan(x) + arctan(y)) = x + y 1 −xy . On en déduit, comme à la question précédente, que Arctan(x) + Arctan(y) −π = Arctan x + y 1 −xy ! ⇔Arctan(x) + Arctan(y) = Arctan x + y 1 −xy ! + π. 9. Troisième cas. On a toujours, pour les mêmes raisons qu’à la uploads/Religion/ devoir-maison-4-a-rendre-le-16-10-20.pdf
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- Publié le Sep 10, 2021
- Catégorie Religion
- Langue French
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