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Recherche opérationnelle Michel Bierlaire michel.bierlaire@epfl.ch EPFL - Labor

Recherche opérationnelle Michel Bierlaire michel.bierlaire@epfl.ch EPFL - Laboratoire Transport et Mobilit´ e - ENAC Recherche op´ erationnelle – p. 1/45 Recherche opérationnelle • Branche des mathématiques • Problèmes d’aide à la décision • Historique: • Blaise Pascal (1623-1662) • Combinatoire, espérance mathématique • Isaac Newton (1642-1727) • Calcul inﬁnitésimal, équations non linéaires Recherche op´ erationnelle – p. 2/45 Recherche opérationnelle • Historique: • Daniel Bernoulli (1700-1782) • Mesure du risque, utilité • Harris (1913) • Gestion de stock, solution optimale Recherche op´ erationnelle – p. 3/45 Recherche opérationnelle • Historique: • Patrick Blackett (1897-1974) • Opérations militaires, organisation des convois • George Dantzig (1914–2005) • Algorithme du simplexe (1947) Recherche op´ erationnelle – p. 4/45 Concepts clés Mod´ elisation Traduction de problèmes réels en équations mathématiques Optimisation Identiﬁcation de la meilleure conﬁguration possible d’un système Simulation Reproduction du fonctionnement d’un système complexe par un ordinateur Recherche op´ erationnelle – p. 5/45 Problèmes concrets dans notre laboratoire Opérations aériennes: • Air France, Baboo, Thomas Cook Recherche op´ erationnelle – p. 6/45 Problèmes concrets dans notre laboratoire Opérations portuaires: • Port de Gioia Tauro, Italie. • Port de Ras-Al-Khaima, Emirats Arabes Unis. Recherche op´ erationnelle – p. 7/45 Problèmes concrets dans notre laboratoire Traﬁc urbain: • Optimisation des feux de circulation • Réduction de la congestion Recherche op´ erationnelle – p. 8/45 Problèmes concrets dans notre laboratoire Tournées de véhicules : • Bus scolaires • Livraison rapide de colis Recherche op´ erationnelle – p. 9/45 Plan du cours • Optimisation sans contrainte • Optimisation linéaire avec contrainte • Graphes et réseaux • Optimisation en nombres entiers Recherche op´ erationnelle – p. 10/45 Support de cours Recherche op´ erationnelle – p. 11/45 Matière à connaître • Partie I Chapitre 1 & 2 • Partie I Section 3.5 • Partie I Chapitre 4 • Partie II Chapitre 5 • Partie II Section 6.5 • Partie III Chapitre 7 & 8 • Partie IV Chapitre 9, 10, 11, 13, 14 & 15 • Partie V Chapitre 17 + graphes et réseaux Recherche op´ erationnelle – p. 12/45 Introduction Optimum (du latin optimus, le meilleur) Etat, degré de développement de quelque chose jugé le plus favorable au regard de circonstances données • Pour obtenir une déﬁnition plus formelle : Modélisation mathématique Recherche op´ erationnelle – p. 13/45 Introduction Modèle mathématique Représentation mathématique d’un phénomène physique, économique, hu- main, etc., réalisée aﬁn de pouvoir mieux étudier celui-ci. 1. Variables de décision : x ∈Rn, x = (x1, x2, . . . , xn)T 2. Fonction objectif : f(x) ∈R 3. Contraintes: x ∈X ⊆Rn Recherche op´ erationnelle – p. 14/45 Projectile • Un projectile est lancé verticalement à la vitesse de 50 mètres par seconde, en l’absence de vent. • Après combien de temps et à quelle altitude commencera-t-il à retomber ? Variables de d´ ecision x = nombre de secondes écoulées depuis le départ du projectile. Recherche op´ erationnelle – p. 15/45 Projectile Fonction objectif altitude f(x) = −g 2x2 + v0x + x0 = −9.81 2 x2 + 50x, où g = −9.81, v0 = 50 et x0 = 0 Contraintes Aucune. Problème d’optimisation max x∈R −9.81 2 x2 + 50x. Recherche op´ erationnelle – p. 16/45 Swisscom • Positionnement d’une antenne • Connexion de 4 nouveaux clients • Priorité aux meilleurs clients • Antennes existantes : (-5,10) et (5,0) • Interdiction de placer la nouvelle à moins de 10 km des antennes existantes Recherche op´ erationnelle – p. 17/45 Swisscom Client Coord. Heures 1 (5,10) 200 2 (10,5) 150 3 (0,12) 200 4 (12,0) 300 - 6 % % 1 2 3 4 (x, y) Recherche op´ erationnelle – p. 18/45 Swisscom min(x1,x2) f(x1, x2) = 200 p (x1 −5)2 + (x2 −10)2+ 150 p (x1 −10)2 + (x2 −5)2+ 200 p x2 1 + (x2 −12)2+ 300 p (x1 −12)2 + x2 2 sous contraintes p (x1 + 5)2 + (x2 −10)2 ≥ 10 p (x1 −5)2 + (x2 −10)2 ≥ 10. Recherche op´ erationnelle – p. 19/45 Château Laupt-Himum Produit du vin rosé et du vin rouge en achetant le raisin à des producteurs locaux. • Achat : maximum 1 tonne de pinot à 3 e/kilo. • Viniﬁcation rosé : coût 2 e par kilo de raisin • Viniﬁcation rouge (pinot noir) : coût 3.50 e par kilo de raisin. • Prix de vente rosé : 15 e/litre moins 2 e par centaine de litres produits. • Prix de vente rouge : 23 e/litre moins 1 e par centaine de litres produits. Recherche op´ erationnelle – p. 20/45 Château Laupt-Himum Production Prix rosé par l. Prix rouge par l. 100 l. 13 e 22 e 200 l. 11 e 21 e • Comment le Château doit-il s’organiser pour optimiser son gain, en sachant qu’un kilo de raisin produit 1 litre de vin ? La démarche de modélisation se passe en trois étapes. Recherche op´ erationnelle – p. 21/45 Château Laupt-Himum Variables de d´ ecision • x1 litres de vin rosé à produire par année, • x2 litres de pinot noir à produire, • x3 nombre de kilos de raisins à acheter. Fonction objectif optimisation du gain • Gain sur le litre de rosé (en e): 15 − 2 100x1 • Gain sur le litre de rouge (en e): 23 − 1 100x2. Recherche op´ erationnelle – p. 22/45 Château Laupt-Himum • Chiffre d’affaire x1(15 − 2 100x1) + x2(23 − 1 100x2). • Achat du raisin : 3x3 • Viniﬁcation du rosé : 2x1 • Viniﬁcation du rouge : 3.5x2 • Frais totaux: 2x1 + 3.5x2 + 3x3. Recherche op´ erationnelle – p. 23/45 Château Laupt-Himum • Fonction objectif: x1(15 − 2 100x1) + x2(23 − 1 100x2) −(2x1 + 3.5x2 + 3x3). Contraintes • Achat de maximum 1 tonne de raisin au vigneron, x3 ≤1000. • Limite de production x1 + x2 ≤x3. Recherche op´ erationnelle – p. 24/45 Château Laupt-Himum • Contraintes triviales mais indispensables x1 ≥0, x2 ≥0, x3 ≥0. Recherche op´ erationnelle – p. 25/45 Château Laupt-Himum Problème d’optimisation : maxx∈R3 f(x) = x1(15 − 2 100x1) + x2(23 − 1 100x2) −(2x1 + 3.5x2 + 3x3) sous contraintes x1 + x2 ≤ x3 x3 ≤ 1000 x1, x2, x3 ≥ 0. Recherche op´ erationnelle – p. 26/45 James Bond • Mission : désamorcer une bombe nucléaire sur un yacht • Yacht amarré à 50 mètres du rivage • James Bond se trouve à 100 mètres du point le plus proche du yacht sur la plage • Course : 18km/h. Nage : 10km/h • Temps de désamorçage : 30 secondes • Explosion dans 65 secondes • James Bond pourra-t-il sauver le monde libre ? Recherche op´ erationnelle – p. 27/45 James Bond 007 x 50m 100m Recherche op´ erationnelle – p. 28/45 James Bond min x f(x) = x 5 + 0.36 p 502 + (100 −x)2. sous contrainte x ≥ 0 x ≤ 100. Note: f(0) = 40.25, f(100) = 38. Recherche op´ erationnelle – p. 29/45 • Indiana Jones est bloqué face à une immense salle remplie de Pseudechis Porphyriacus, des serpents venimeux. • La salle est longue de 10 mètres et haute de 5 mètres. • Il doit passer par-dessus, mais le toit est fragile. Recherche op´ erationnelle – p. 30/45 • Il place l’extrémité d’une échelle sur le sol, bloquée par un rocher, l’appuie sur le mur, et l’utilise pour atteindre l’autre extrémité de la salle. Arrivé là, il utilise son fouet pour redescendre sur le sol, de l’autre côté de la salle. • Où doit-il placer l’extrémité de l’échelle sur le sol, pour que la longueur de l’échelle utilisée soit la plus petite possible, et que celle-ci risque moins de rompre sous son poids ? Recherche op´ erationnelle – p. 31/45 x1 x2 - ℓ= 10m 6 ? m Recherche op´ erationnelle – p. 32/45 La démarche de modélisation procède en trois étapes. Variables de d´ ecision • x1 est la position de l’extrémité de l’échelle sur le sol, • x2 est la hauteur de l’autre extrémité de l’échelle, à l’autre bout de la salle. Fonction objectif f(x) = q x2 1 + x2 2. Recherche op´ erationnelle – p. 33/45 Contraintes L ’échelle s’appuie exactement sur le bord du mur de la salle. En utilisant des triangles semblables, cette contrainte peut s’écrire x2 x1 = h x1 −ℓ= x2 −h ℓ ou encore x1x2 −hx1 −ℓx2 = 0. Les extrémités de l’échelle doivent se trouver hors de la salle x1 ≥ℓet x2 ≥h. Recherche op´ erationnelle – p. 34/45 Problème d’optimisation : min x∈R2 q x2 1 + x2 2 sous contraintes x1x2 −hx1 −ℓx2 = 0 x1 ≥ ℓ x2 ≥ h. Recherche op´ erationnelle – p. 35/45 Geppetto Fabricants de jouets en bois : soldats et trains • Prix de vente : soldats 27 e, trains 21 e • Matériel brut : soldats 10 e, trains 9 e • Coûts généraux : soldats 14 e, trains 10 e • Menuiserie : soldats 1h, trains 1h • Finissage : soldats uploads/Science et Technologie/ 01-introduction 1 .pdf