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MATHEMATIQUES EXPERIMENTALES Illustration, sur le thème cité en introduction :

MATHEMATIQUES EXPERIMENTALES Illustration, sur le thème cité en introduction : " On se souvient de l'image du singe tapant sur un clavier et qui, par hasard…" "Mathématiques expérimentales". Avril 2008 - Mise à jour du 29 avril 2009. 1 MATHEMATIQUES EXPERIMENTALES Jean Jacquelin 1. INTRODUCTION Le terme "Mathématiques Expérimentales" s'est étendu à un si grand nombre de matières qu'en faire l'inventaire serait une gageur. On y trouverait d'anciennes disciplines que les moyens informatiques modernes ont profondément renouvelées. Par exemple, qui se souvient encore du Calcul Numérique des taupins à l'époque de Bouvart et Ratinet ? Dans l'inventaire, on y reconnaîtrait des fragments des Techniques Mathématiques appliquées à la Physique, réactualisés. Et qui plus est, quelques éléments de modélisation. On y verrait apparaître en bonne place des développements, des transformations d'équations, qui se faisaient (et se font encore) péniblement "à la main" et dont se jouent maintenant les logiciels de calcul formel. On arriverait, en point d'orgue, aux preuves assistées par ordinateur. L'étendard "Mathématiques expérimentales" c'est déployé avec l'essor de l'informatique à partir des années 1970-80, dans un mouvement qui touche à l'arithmétique, la cryptographie, la géométrie, la représentation graphique de fonctions, leurs approximations, leurs optimisations, la recherche d'erreurs et de valeurs interdites, les probabilités et statistiques, voir même quelques jeux et martingales ! Et beaucoup d'autres choses. De tout ceci, il ne sera pas question. Même les études heuristiques, pourtant très importantes, de l'apport des mathématiques expérimentales dans l'enseignement sont hors propos dans ce qui suit. Le terme "Mathématiques expérimentales" est pris ici dans un sens beaucoup plus restreint, certainement proche de l'idée que pouvait s'en faire C.F.Gauss à son époque : approcher la vérité mathématique par l'expérimentation systématique. Observer, en déduire des conjectures qui seront prouvées plus tard. En préliminaire, on peut se demander ce qu'évoque le terme "Mathématiques Expérimentales" dans le grand public. Adressons-nous à tout un chacun : Ne vous semble-t- il pas choquant de voir le qualificatif "expérimental" accolé au mot "mathématique" ? On s'attendrait à ce qu'une science théorique n'ait, en aucune façon, de démarche expérimentale, évoquant l'observation de phénomènes, voire des tâtonnements, des essais répétés avec erreurs et corrections. Pourtant, que fait l'étudiant confronté à un problème mathématique ? Dans une phase préliminaire, il va explorer différentes pistes, tenter plusieurs approches qu'il subodore être de bonnes orientations pour arriver à la solution, grâce à ses connaissances et son intuition. N'est- ce pas déjà, en partie, une façon expérimentale d'aborder un problème ? Certes, ce n'est pas encore la démonstration en bonne et due forme, qui se concrétisera ensuite dans une phase théoriquement structurée, la seule qui sera portée sur sa copie et évaluée par l'examinateur. L'exemple précédent se situait dans un cadre scolaire où l'on sait, a priori, que le problème posé a très probablement une solution accessible au niveau de connaissances de celui à qui il s'adresse. Il est plus intéressant de réfléchir à la démarche du chercheur "Mathématiques expérimentales". Avril 2008 - Mise à jour du 29 avril 2009. 2 confronté à une question dont il ne sait pas si la réponse sera possible avec les connaissances mathématiques de l'époque. Son travail exploratoire peut lui faire observer une coïncidence ou une relation qui, à ce stade, est seulement une conjecture. La nécessaire démonstration peut s'avérer difficile et de longue haleine. On ne peut même pas savoir si le jeu en vaut la chandelle, puisque la conjecture pourrait être fausse. Ainsi, avant de s'engager dans une voie incertaine, il n'est pas rare de faire une "vérification" par calcul numérique. Un résultat correct conforte l'espérance que la conjecture soit valide, d'autant plus que la précision du calcul est grande. Ce n'est pas une preuve, mais cela évitera de gaspiller des efforts sur une conjecture grossièrement erronée, ce qui n'est pas rien. Un exemple historique bien connu est celui de la série suivante (valeur particulière de la fonction zêta, selon l'écriture actuelle) : 2 2 2 2 1 1 1 1 (2) 1 ... ... 2 3 4 n ζ = + + + + + + Par un calcul approximatif, Euler remarqua une bonne proximité avec 2 /6 π , ce qui le conforta dans la recherche et finalement la découverte de la démonstration de l'égalité 2 (2) /6 ζ π = Dans le même ordre d'idées, évoquons C.F.Gauss qui observa que le nombre de nombres premiers inférieurs à n est approximativement n/ln(n), ce qui ne sera confirmé que beaucoup plus tard. Une autre conjecture, fortement étayée par calcul numérique, mais non prouvée de nos jours, est celle des zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann, dont la partie réelle serait égale à ½. Ces approches empiriques, souvent pour des tests préliminaires de conjectures et de formules, voire pour en chercher de nouvelles, sont souvent utiles et efficaces, mais à condition de les considérer avec prudence: Ce n'est pas sans risque de fourvoiement, ainsi que nous nous proposons d'en donner un aperçu, ce qui est un point essentiel de ce papier. Le thème des incertitudes dans les coïncidences apparentes de résultats numériques est bien présent dans l'enseignement actuel des mathématiques, même à un stade précoce. Nous verrons également que les techniques empiriques dans la recherche évoluent "de l'artisanal à l'industriel", métaphore pourtant peu appropriée aux mathématiques ! En effet, l'accroissement spectaculaire des performances des calculateurs électroniques permet de balayer d'une façon systématique un domaine de plus en plus étendu. Certes, ces procédés apparaissent d'une piètre intelligence comparées aux méthodes des mathématiciens dont les connaissances et l'intuition sont les atouts maîtres pour circonscrire les recherches. On se souvient de l'image du singe tapant sur un clavier et qui, par hasard, écrit une phrase intelligible et même célèbre. On sait que la probabilité pour que cela se produise est absolument infime. Si l'on transpose cette image au domaine des mathématiques, quelle probabilité y aurait-il de dactylographier une formule exacte ? Et au lieu du singe, s'il s'agissait d'un ordinateur doté d'une grande puissance de calcul, d'une vitesse vertigineuse ? Je ne crois pas que l'on puisse répondre à cette question dans l'état des connaissances actuelles. Bien entendu, on peut faire des études statistiques sur les milliards de nombres qui sont traités "Mathématiques expérimentales". Avril 2008 - Mise à jour du 29 avril 2009. 3 au cours de tel ou tel processus de calcul. Mais le risque serait de croire que les résultats obtenus ont une validité générale. En l'absence de base théorique globale, c'est autour d'un exemple (volontairement ludique et suffisamment restreint pour qu'il puisse être reproduit sur un ordinateur personnel) que la présentation est organisée. L'annexe 1 donne des indications sur les caractéristiques du programme de calcul. Les résultats statistiques, inévitablement spécifiques à cet exemple, sont mis à part en les reportant en Annexe 2 : On comprendra ainsi que, bien que répondant à une légitime curiosité, ils ne sont pas généralisables a priori. 2. UNE ANECDOTE RÉVÉLATRICE : Expérimental n'implique pas rébarbatif ! Plus agréablement que par un discours ex- cathedra et exhaustif, une petite anecdote permet de mieux appréhender certaines possibilités offertes par les mathématiques expérimentales et surtout leurs aléas. Au départ, il s'agissait d'un problème posé parmi d'autres sur un site de mathématiques [1] dans une catégorie intitulée "Défis", autrement dit des questions sortant un peu de la routine. En encadré 1, voici l'essentiel de l'énoncé (modifié et adapté aux besoins du présent papier, c.f. la note en fin d'Annexe 1 ) : Pour la petite histoire, la question d'abord restée sans réponse a été reposée, dans un contexte différent, sur un autre site [2] où le pot aux roses n'a pas été long à être découvert. Devant des formules aussi bizarres (outre l'impression de se trouver devant un piège…), la première idée est de calculer les valeurs de ces constantes N1 à N3 . Pour vous éviter de sortir la calculette et d'effectuer des opérations fastidieuses, voici ce que vous trouveriez successivement : N1 = 1,618 033 988… ; N2 = 1,618 033 988… ; N3 = 1,618 033 988… ; Ceci est-il propre à vous mettre sur la voie ? Pour ménager le suspense (qui pourtant n'est pas grand), la réponse est donnée à la fin de ce papier (Annexe 1). Toutefois, pour celui qui voudrait trouver par lui-même, qu'il attende un peu avant de lire le paragraphe suivant : La clef deviendrait par trop évidente, avant même d'en arriver à la conclusion. "Mathématiques expérimentales". Avril 2008 - Mise à jour du 29 avril 2009. 4 Encadré 1 : DES RELATIONS COMPLIQUEES ! Définition : " Rapport de deux dimensions qui sont entre elles dans la même proportion que la plus grande avec leur somme ". Cela vous rappelle-t-il quelque chose ? Oui, c'est le fameux nombre d'or, nom donné par les artistes de la Renaissance à cette constante bien connue des architectes. Vous le calculerez aisément à partir de la définition précédente : Le Nombre d'Or : ( ) 0 1 1 5 1,618033988... 2 N = + = Bien évidemment, les constructeurs de la pyramide de uploads/Science et Technologie/ mathematiques-experimentales.pdf