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1 Programme de mathématiques Terminale Arts – Lettres (T.A.L) (2 heures par sem

1 Programme de mathématiques Terminale Arts – Lettres (T.A.L) (2 heures par semaine) Coefficient : 1→2 UA1 Compétences Composantes Manifestations Contenus Résoudre une situation problème Diagnostiquer la situation –problème -Sélectionner les données mathématiques, scientifiques et technologiques qui sont en rapport avec la situation. -Etablir des relations entre les données retenues. -Comparer cette situation – problème avec des situations semblables déjà résolues -Formuler le problème LIMITE DU POINT DE VUE DESCRIPTIF ET CULTUREL Il ne s’agit pas d’aboutir à la définition mathématique générale, encore moins de l’utiliser, mais de donner un sens en relation avec les graphiques obtenus en 11e, aux expressions « f(x) tend vers +∞en +∞ » « Un tend vers ℓ en +∞ » « f(x) tend vers +∞ en 0 à droite » etc. en évitant éventuellement le cas le moins spectaculaire de limite finie en un point réel. On invitera donc les élèves, sous forme de débat, à traduire ces expressions de diverses manières en langage courant selon le style propre de chacun, puis avec l’aide du professeur on s’acheminera vers une formulation pseudo mathématique plus maniable (sans utilisation de quantificateur, par exemple du type: « Soit A > 0, puis – je rendre f(x) > A au moyen d’une condition sur x ? »). Enfin on profitera avantageusement de cette situation pour lire aux élèves si possible diffuser quelques textes historiques montrant les difficultés inhérentes à la notion de limite éprouvés jusqu’à la fin du 18è siècle. Mettre à l’essai des pistes de solutions -Inventorier les différentes pistes de solutions -Choisir une piste parmi un éventail de possibilités. -Appliquer cette piste. Partager les informations relatives à la démarche scientifique et mathématique -Se servir de contre – exemples pour ajuster des démarches. -Expliquer des résultats -Tirer une conclusion. Mettre à profit ses connaissances scientifiques et technologiques Exercer son jugement critique sur les retombées de la science et de la technologie -Analyser les retombées à long terme de la science et de la technologie sur l’individu, la société, l’environnement et l’économie. -Examiner leurs effets sur le mode de vie des individus. -Identifier des questions et des enjeux sur le plan éthique Comprendre le fonctionnement d’objets techniques -Manifester de la curiosité à l’égard de certains objets techniques. -Les démonter -En identifier les pièces -Expliquer le fonctionnement des objets techniques 2 Comprendre des phénomènes naturels -S’interroger sur certains phénomènes -Les décrire de manière qualitative. -S’en donner une représentation schématique. -Expliquer les phénomènes à l’aide de lois et de modèles. -Vérifier la cohérence de l’explication donnée. -S’approprier les concepts pertinents. -Dégager le caractère évolutif des concepts. DÉRIVATION DES FONCTIONS : - Fonction tangente en un point : fonction affine associée à la droite tangente en ce point. - Nombre dérivé : coefficient directeur de la tangente. Il s’agit d’introduire la notion de nombre dérivé en utilisant l’idée de droite tangente en un point d’une courbe : sur un exemple f : x ) (x f a . On cherche une droite coupant la courbe en deux points confondus d’abscisse x0 le coefficient directeur de cette droite est appelé nombre dérivé de f au point x0. Renouveler l’expérience en plusieurs autres points. Montrer des exemples où le problème est insoluble : x a x en 0 , x x a en 0 . Effectuer des recherches graphiques de nombres dérivés à partir de graphiques précis élaborés antérieurement. Observer le lien entre nombre dérivé et taux de croissance (ou de décroissance), la signification d’un nombre dérivé nul. Lorsque la fonction f représente une distance parcourue par un mobile en fonction du temps, le nombre dérivé est appelé vitesse du mobile. -Calcul du nombre dérivé en x0 : fonction dérivée. Les formules seront admises pour les fonctions polynomiales de degré 2, 3,…, la fonction x x 1 a et la fonction xa x . Communiquer des messages en utilisant le langage et le symbolisme mathématique Participer à des échanges d’informations à caractère scientifique, technologique et mathématique. -Respecter les points de vue des autres -Consulter au besoin différentes sources d’information. -Comparer ses données à sa démarche avec celles des autres. -Valider son point de vue ou sa solution en les confrontant avec d’autres. Partager des savoirs ou des résultats scientifiques, technologiques et mathématiques -Recourir à divers formats de présentation (symbole, tableau, dessin technique, etc.) -Sélectionner des modes de représentation selon l’objet du message et l’interlocuteur Produire des messages à caractère scientifique, technologique et mathématique -Utiliser des informations scientifiques, technologiques provenant de diverses sources. -Vérifier des sources. -Recourir à des modes de représentions conformes aux conventions propres à la science, à la technologie et à la mathématique. 3 A titre d’exercice le calcul du nombre dérivé en x0 quelconque peut être fait sur quelques exemples en cherchant la condition de racine double x0 pour l’équation f(x) = β α + x ( problème du second degré ) Équation de la tangente à partir du nombre dérivé. Relation avec le sens de variation d’une fonction. 4 UA2 Compétences Composantes Manifestations Contenus Résoudre une situation problème Diagnostiquer la situation – problème -Sélectionner les données mathématiques, scientifiques et technologiques qui sont en rapport avec la situation. -Etablir des relations entre les données retenues. -Comparer cette situation – problème avec des situations semblables déjà résolues -Formuler le problème – Application à l’étude d’une fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à 3 – Application à la recherche d’une solution approchée d’une équation algébrique de degré 3 par exemple. En remplaçant la courbe par sa tangente en un « point voisin » de la racine cherchée et en itérant ce processus. On aura une idée de la précision obtenue par la différence des deux valeurs approchées successives.(utilisation avantageuse d’une calculette – Règles de calcul relatives aux nombres (et fonctions) dérivées ; somme, produit, puissance ; quotient . – Dérivé d’une fonction composée – Application à l’étude d’une fonction polynomiale de degré inférieure ou égal à 3 et d’une fonction rationnelle du type x a e dx c bx ax + + + 2 avec d ≠ 0. A l’occasion de l’étude de certaines fonctions rationnelles non homographiques on pourra introduire la notion d’asymptote oblique sans toute fois en faire une recherche systématique : on constatera simplement « PM tend vers zéro lorsque M s’éloigne sur la branche infinie considérée » Mettre à l’essai des pistes de solutions -Inventorier les différentes pistes de solutions -Choisir une piste parmi un éventail de possibilités. -Appliquer cette piste. Partager les informations relatives à la démarche scientifique et mathématique -Se servir de contre – exemples pour ajuster des démarches. -Expliquer des résultats -Tirer une conclusion. Mettre à profit ses connaissan ces scientifiques et technologi ques Exercer son jugement critique sur les retombées de la science et de la technologie -analyser les retombées à long terme de la science et de la technologie sur l’individu, la société, l’environnement et l’économie. -examiner leurs effets sur le mode de vie des individus. -identifier des questions et des enjeux sur le plan éthique Comprendre le fonctionnement d’objets techniques -manifester de la curiosité à l’égard de certains objets techniques. -les démonter -en identifier les pièces -expliquer le fonctionnement des objets techniques Comprendre des phénomènes naturels -s’interroger sur certains phénomènes -les décrire de manière qualitative. -s’en donner une représentation schématique. 5 -expliquer les phénomènes à l’aide de lois et de modèles. -vérifier la cohérence de l’explication donnée. -s’approprier les concepts pertinents. -dégager le caractère évolutif des concepts. SUITES NUMÉRIQUES – Définition et représentation graphique – Monotonie – On observera des exemples correspondant à divers modes de détermination : – Table de valeurs (relevé météorologique, production agricole ou artisanale….) – Expression du terme général Un = f(n) – Relation de récurrence Un+1 = g(Un) et Uo donné (dans ce cas on pourra montrer comment déduire le graphe de la suite du graphe de la fonction g) – A l’aide d’une calculette, on pourra, sans aucune théorie ni formalisme, observer les phénomènes asymptotiques. On pourra aussi inviter les élèves à produire eux-mêmes des exemples documentés issus d’autres disciplines : histoire, géographie, biologie……. – Cas particulier des suites arithmétiques et géométriques, propriétés classiques des suites : problèmes correspondants (intérêts simples, intérêts composés, démographie) Communiquer des messages en utilisant le langage et le symbolisme mathéma- tique Participer à des échanges d’informations à caractère scientifique, technologique et mathématique. -respecter les points de vue des autres -consulter au besoin différentes sources d’information. -comparer ses données à sa démarche avec celles des autres. -valider son point de vue ou sa solution en les confrontant avec d’autres. Partager des savoirs ou des résultats scientifiques, technologiques et mathématiques -Recourir à divers formats de présentation (symbole, tableau, dessin technique, etc.) -Sélectionner des modes de représentation selon l’objet du message et l’interlocuteur Produire des messages à caractère scientifique, technologique et mathématique -Utiliser des informations scientifiques, technologiques provenant de diverses sources. -Vérifier des sources. -Recourir à des modes de représentions conformes aux conventions propres à la science, à la technologie et à la mathématique. 6 UA3 Compétences Composantes Manifestations Contenus Résoudre une situation - problème Diagnostiquer la situation – problème -Sélectionner les données uploads/Science et Technologie/ progterm-1.pdf