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TSI1 Analyse dimensionnelle et sym´ etries Ce premier cours de l’ann´ ee a pour

TSI1 Analyse dimensionnelle et sym´ etries Ce premier cours de l’ann´ ee a pour rˆ ole de souligner l’importance des unit´ es en Sciences Physiques qui donnent une structure pr´ ecise ` a toutes les formules litt´ erales. Par ailleurs, nous verrons aussi comment l’´ etude des propri´ et´ es de sym´ etrie de certains syst` emes peut donner des r´ esultats qualitatifs sur leurs propri´ et´ es. Table des mati` eres 1 Unit´ es et dimensions 1 1.1 Le syst` eme international d’unit´ es (syst` eme SI) . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Notion de dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Homog´ en´ eit´ e d’un r´ esultat litt´ eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 R` egles d’homog´ en´ eit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.5 Retrouver la dimension d’une grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.6 Analyse dimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.6.1 Th´ eor` eme Π de Vaschy-Buckingam . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.6.2 Exemples d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.6.3 Lois d’´ echelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.6.4 Analyse dimensionnelle avec Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Sym´ etries 12 2.1 Sym´ etries, transformations, invariances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Le principe de sym´ etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3 Exemples d’application du principe de Curie . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3.1 La sym´ etrie des formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3.2 Plans de sym´ etrie et d’antisym´ etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1 Unit´ es et dimensions Les Sciences Physiques font appel ` a des grandeurs qui peuvent ˆ etre mesur´ ees ou rep´ er´ ees. ` A ces grandeurs physiques peut ˆ etre associ´ ee une valeur num´ erique qui en traduit l’inten- sit´ e. Mais il est une caract´ eristique essentielle d’une grandeur physique : son unit´ e, qui en pr´ ecise la nature. 1.1 Le syst` eme international d’unit´ es (syst` eme SI) Toutes les unit´ es n’ont pas le mˆ eme statut. Certaines ont ´ et´ e choisies comme fondamen- tales. Par cons´ equent, toutes les autres unit´ es peuvent s’exprimer comme une combinaison des unit´ es fondamentales (sous la forme d’une multiplication d’unit´ es). Le syst` eme fondamental contient 7 unit´ es de base : F. Vandenbrouck – Lyc´ ee des Lombards – Analyse dimensionnelle et sym´ etries 1 Nom Symbole Unit´ e de. . . m` etre m longueur kilogramme kg masse seconde s temps Amp` ere A intensit´ e du courant ´ electrique Kelvin K temp´ erature candela cd intensit´ e lumineuse mole mol quantit´ e de mati` ere Les d´ eﬁnitions des unit´ es ont ´ evolu´ e au cours du temps au fur et ` a mesure que les progr` es scientiﬁques permettaient d’obtenir des mesures de pr´ ecision croissante. Ainsi, la seconde est d´ eﬁnie aujourd’hui comme valant ⟨ ⟨9192631770 p´ eriodes de l’onde ´ emise par un atome de c´ esium 133 subissant une transition dipolaire magn´ etique correspondant ` a une raie de la structure hyperﬁne du spectre de cet atome ⟩ ⟩. Cette d´ eﬁnition moderne fait appel ` a la fois ` a la m´ ecanique quantique, ` a des eﬀets de relativit´ e restreinte et au magn´ etisme nucl´ eaire ! Auparavant, la seconde ´ etait d´ eﬁnie ` a partir de la dur´ ee du jour : l’alternance des jours et des nuits apparaissait alors comme un ph´ enom` ene d’une r´ egularit´ e exemplaire. Cette d´ e- ﬁnition de la seconde souligne le caract` ere arbitraire d’une unit´ e de mesure. Ceci explique pourquoi tout le monde n’utilise pas les mˆ emes unit´ es : citons par exemple les unit´ es couramment utilis´ ees par les anglo-saxons (mile, yard 1. . . ). Il est donc important de dis- poser d’unit´ es oﬃcielles ` a l’´ echelle internationale pour assurer la bonne communication des scientiﬁques. C’est la vocation du syst` eme international d’unit´ es. 1.2 Notion de dimension Chacune des unit´ es est rattach´ ee ` a une grandeur physique mesurable qui d´ eﬁnit sa nature. On l’appelle dimension. Pour autant, il ne faut pas confondre unit´ e et dimension. Par exemple, le m` etre est rattach´ e ` a la dimension longueur, tout comme le yard ou le mile marin. Exemple : i = Q ∆t • i : intensit´ e ´ electrique, s’exprime en amp` eres. On ´ ecrit [i] = I. Le symbole I d´ esigne la dimension intensit´ e ´ electrique. L’´ ecriture [i] = I est une ´ equation aux dimensions : elle exprime que la dimension de la grandeur d´ esign´ ee par le symbole i est une intensit´ e ´ electrique. • Q : la charge ´ electrique, se mesure en coulombs (symbole C). • ∆t : une dur´ ee, se mesure en secondes (symbole s). • La relation i = Q ∆t s’´ ecrit aussi Q = i∆t. On en d´ eduit qu’une charge ´ electrique est homog` ene au produit d’une intensit´ e ´ electrique par une dur´ ee. On ´ ecrit l’´ equation aux dimensions suivante pour traduire cette propri´ et´ e : [Q] = IT o` u T repr´ esente la dimension temps. 1qui correspond ` a la hauteur r´ eglementaire de ﬁlet de tennis en son milieu. F. Vandenbrouck – Lyc´ ee des Lombards – Analyse dimensionnelle et sym´ etries 2 Retenons le principe fondamental suivant : en physique, on ne compare que des grandeurs homog` enes, c’est-` a-dire dont les dimensions sont ´ egales. Cas particulier : Certaines grandeurs, bien qu’ayant une unit´ e, sont sans dimension : ce sont en fait des nombres purs au sens math´ ematique. C’est le cas du radian (symbole rad) qui est une unit´ e sans dimension. l R α On a par d´ eﬁnition α = l R. Dans cette ex- pression, la valeur de α est obtenue en ra- dians si l et R sont exprim´ es en m` etres (ou dans une unit´ e multiple du m` etre). L’angle α apparaˆ ıt comme le rapport de deux lon- gueurs ; il est donc sans dimension. 1.3 Homog´ en´ eit´ e d’un r´ esultat litt´ eral Par souci de clart´ e, on doit conduire tous les calculs sous forme litt´ erale en conservant les symboles des diﬀ´ erentes grandeurs physiques. On ne r´ ealise d’application num´ erique que lorsque le calcul litt´ eral est termin´ e. Ceci permet de juger l’homog´ en´ eit´ e d’une formule. Il faut en eﬀet se rappeler le principe suivant : Toutrsultatnonhomogneestncessairementfaux. Par contre, un r´ esultat homog` ene n’est pas forc´ ement le bon. . . Exemples : x = 1 2gt2 + v0t dimension : longueur acc´ el´ eration × temps2 vitesse × temps unit´ e : m m · s−2 × s2 = m m · s−1 × s = m i = I0 √ 2 exp (−αt) cos (ωt + ϕ) dimension : I I 1 1 1 unit´ e : A A sans unit´ e sans unit´ e sans unit´ e Notons que pour cet exemple, l’argument αt de l’exponentielle est n´ eces- sairement sans dimension car il est impossible de d´ eﬁnir la nature physique de l’exponentielle d’une dur´ ee : quelle unit´ e associerait-on ` a une uploads/Sante/ analyse-dimensionnelle.pdf