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Les oscillateurs, généralités 1 Introduction : motivation et définitions Les sy

Les oscillateurs, généralités 1 Introduction : motivation et définitions Les systèmes oscillants sont d’une variété impressionnante et rares sont les domaines de la physique dans lesquels ils ne jouent pas un rôle important. En voici quelques exemples : la corde vocale, le cœur humain, la balançoire, le circuit électrique oscillant, les électrons dans les atomes, les cordes en physique des particules . . . En acoustique, la production, le transport, et la perception des sons mettent en jeu des oscillateurs mécaniques, acoustiques et électriques. Nous allons étudier les oscillations de quelques systèmes oscillants simples, mécaniques et électriques. Un oscillateur est un système physique manifestant la variation d’une grandeur physique de part et d’autre d’un état d’équilibre. Si les variations se reproduisent identiques à elles- mêmes, l’oscillateur est dit périodique. Définition : Un oscillateur est harmonique si la variation de la grandeur physique est une fonction sinusoïdale du temps. Dans ce chapitre, nous étudions d’abord les oscillateurs mécaniques avant de transposer les résultats aux autres types d’oscillateurs. La figure ci-dessous montre quelques oscillateurs mécaniques. Un oscillateur mécanique effectue un mouvement d’aller-retour de part et d’autre de sa position d’équilibre. En électricité, un circuit dans lequel circule un courant alternatif est un oscillateur électrique. 2 L’oscillation harmonique, introduction mécanique 2.1 L’oscillation harmonique Quand un objet est en oscillation, il passe continuellement d’un côté à l’autre d’une position appelée la position d’équilibre. Ce pourrait être, par exemple, un pendule. Dans ce cas, la masse passe alternativement d’un côté à l’autre de la position d’équilibre, qui est au point le plus bas du mouvement du pendule. Si on pose que la position d’équilibre est à x = 0, cela signifie que la position prend alternativement des valeurs positives et négatives. Le graphique de la position de l’objet en fonction du temps pourrait donc ressembler au graphique suivant. Le graphique peut prendre une multitude de formes. La seule chose qui indique qu’il y a une oscillation c’est l’alternance entre les valeurs positives et négatives. Il y a cependant un cas particulier très important : le mouvement d’oscillation décrit par une fonction sinusoïdale. On parle alors d’oscillation harmonique. Dans ce cas, la position est donnée par la formule : De façon plus correcte, on parle ici de mouvement harmonique simple. Dans le mouvement harmonique complexe, il faudrait plusieurs fonctions sinusoïdales additionnées pour décrire le mouvement. Prenons un exemple pour illustrer un mouvement d’oscillation harmonique. Supposons que la position soit donnée par : Le graphique de ce mouvement est illustré sur la figure ci-dessous. Dans ce clip, vous pouvez voir que le graphique de la position en fonction du temps pour un système masse-ressort (qui est un système qui fait une oscillation harmonique) est un graphique identique à celui de la figure. http://www.youtube.com/watch?v=T7fRGXc9SBI Oscillation harmonique Dans la formule, A est l’amplitude du mouvement. Elle permet d’ajuster la hauteur du sinus. Normalement, un sinus a une valeur maximale de 1 et une valeur minimale de -1. En multipliant par A, le sinus aura alors une valeur maximale de A et une valeur maximale de –A. Cette amplitude indique la plus grande distance qu’il peut y avoir entre l’objet et la position d’équilibre. Dans notre exemple, l’amplitude est de 3 cm. T est la période du mouvement. Elle indique le temps que prend l’objet pour faire un cycle d’oscillation. Normalement, un sinus a une période de 2π (en radians). En multipliant le temps par 2π/T, le sinus aura alors une période de T. Dans notre exemple, la période est de 2 secondes. f est la fréquence. Elle indique le nombre d’oscillations fait par l’objet en une seconde. Elle est mesurée en Hertz (Hz), qui sont des s-1 Évidemment, il y a un lien entre la période et la fréquence puisque, plus l’objet fera d’oscillations par seconde, plus la période sera petite. Si l’objet fait 10 oscillations par secondes, cela signifie que chaque oscillation dure 0,1 s (1 seconde / 10). Si l’objet fait 50 oscillations par secondes, chaque oscillation dure 0,02 s (1 seconde / 50). On a donc : On peut donc écrire la fonction sinusoïdale sous la forme : La quantité 2πf revient continuellement dans l’étude des oscillations harmoniques. Les physiciens ont décidé d’utiliser un symbole pour la représenter. C’est la fréquence angulaire ou pulsation. La fréquence angulaire est en rad/s et elle représente le nombre de cycles d’oscillation effectué durant un temps de 2π secondes. Notre fonction sinusoïdale peut donc s’écrire sous la forme : Ce n’est toujours pas notre formule la plus générale pour décrire le mouvement d’oscillation, même si on peut ajuster l’amplitude et la période. On doit aussi pouvoir ajuster le début du mouvement. On n’est pas obligé de commencer le mouvement d’oscillation à x = 0 comme on doit avoir avec un sinus. On pourrait commencer le mouvement d’oscillation à la position maximum comme illustré sur ce graphique. Ce graphique ne correspond pas au graphique d’un sinus. On doit pouvoir changer quelque chose dans le sinus pour arriver à représenter cette fonction. En fait, la forme de la fonction n’a pas changé, le sinus n’est que déplacé le long de l’axe du temps. On a donc une translation de la fonction. Sur ce graphique, on déplace notre fonction sinus de ∆t vers la gauche. En pointillé, on voit les axes du départ qui se sont déplacés avec la fonction. Avec les axes en pointillé, nous avons toujours notre graphique du sinus. L’équation est donc : Avec les axes en lignes continues, nous avons notre sinus qui ne commence pas à zéro. On peut déterminer l’équation de ce sinus en trouvant les lois de transformation entre les coordonnées x’ et t’ et les coordonnées x et t. Comme on n’a pas changé de hauteur par rapport aux axes horizontaux lors du déplacement, on n’a pas changé les valeurs de x : Les points du graphique ne sont cependant pas à la même distance des axes verticaux puisque l’axe x’ est ∆t plus à gauche. On a donc : Si on met ces transformations dans notre formule du sinus, on obtiendra l’équation de ce graphique en fonction des axes x et t. ωet ∆t étant des constantes, on peut les renommer en utilisant une autre constante φ, appelée constante de phase. La constante de phase est en rad. Notre équation la plus générale pour le mouvement d’oscillation harmonique est donc : Notez que tout ce qu’il y a à l’intérieur du sinus porte le nom de phase (c’est un terme général en mathématiques et qui ne s’applique pas uniquement aux oscillations harmoniques.) La constante de phase déplace notre sinus vers la gauche. Par exemple, il est déplacé d’un quart de cycle vers la gauche si la constante de phase est π/2 (qui est un quart de 2π), il est déplacé d’un demi-cycle si la constante est et est déplacé de trois quarts de cycle si la constante est 3π /2. Inutile d’utiliser une constante de phase de 2π, puisqu’on décale alors d’un cycle au complet et on revient à notre sinus du départ. Si la constante de phase est négative, le graphique du sinus est déplacé vers la droite. Certains d’entre vous ont peut-être déjà remarqué qu’avec une constante de π/2, on obtient alors le graphique d’un cosinus. Cela veut dire qu’on peut également décrire les oscillations harmoniques avec un cosinus. C’est très correct de le faire et certains livres sur les oscillations travaillent toujours avec un cosinus. On peut passer facilement d’un à l’autre avec l’identité trigonométrique suivante : La constante de phase est toujours π/2 plus petite avec le cosinus qu’avec le sinus. Les identités suivantes peuvent être aussi utiles à l’occasion : L’amplitude du mouvement n’est jamais négative. S’il y a un signe négatif devant la fonction, c’est une constante de phase de π déguisé comme l’indique la deuxième identité. 2.1.1 Vitesse et accélération Avec la position en fonction du temps, on peut facilement trouver la vitesse et l’accélération de l’objet en fonction du temps. La vitesse est : On obtient ainsi : Comme le cosinus peut prendre des valeurs entre -1 et 1, la plus grande valeur que peut prendre la vitesse est : L’accélération est : On obtient ainsi : Comme le sinus peut prendre des valeurs entre -1 et 1, la plus grande valeur que peut prendre l’accélération est : Voici les graphiques de la position, de la vitesse et de l’accélération : On remarque que quand la position et l’accélération sont maximales (positive ou négative), la vitesse est nulle et que quand la vitesse est maximale (positive ou négative), la position et l’accélération sont nulles. L’objet atteint donc sa vitesse maximale quand il est à la position d’équilibre. Vous pouvez admirer ces graphiques en action dans le clip suivant : http://www.youtube.com/watch?v=eeYRkW8V7Vg Mouvement harmonique simple 2.1.2 Lien entre la position et la vitesse On trouve un lien très utile entre la position et la vitesse d’un objet en oscillation harmonique en utilisant une propriété entre les sinus et les cosinus. En utilisant : On a : En multipliant uploads/Sante/ annee-prepa-oscillateurs-generalites-pdf.pdf