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Partie I : Signaux et ondes Chapitre 1 Signal et spectre Plan schématique du co

Partie I : Signaux et ondes Chapitre 1 Signal et spectre Plan schématique du cours 1 - Grandeur physique. Signal = enregistrement d'une grandeur physique intéressante I Qu'est-ce qu'un signal ? II Signal harmonique 1 - Déﬁnitions III Spectre 2 - Signal périodique 2 - Déphasage t e(t) T0 cn 1ω 0 2ω 0 3ω 0 4ω 0 valeur moyenne fondamental harmoniques 2 - Exemples 3 - Ordres de grandeurs Exemples : - signal acoustique - .. électromagnétique - .. électrique - .. optique cas particulier t s T T - période T - fréquence f=1/T - amplitude - valeur moyenne et eﬃcace cas particulier 1 - Décomposition d'un signal pulsation : 0 pulsation (ou fréquence) Plan du cours I - Qu’est-ce qu’un signal ? 1 - Grandeur physique et signal 2 - Cas particulier : signal périodique II - Signal harmonique 1 - Déﬁnitions 2 - Déphasage entre deux signaux harmoniques III - Spectre 1 - Décomposition d’un signal 2 - Exemples 3 - Ordres de grandeur Ce qu’il faut connaître (cours : I) ▶1 Quelle est la relation entre la fréquence d’un signal périodique et sa période ? ▶2 Quelle est la relation de déﬁnition de la valeur moyenne d’un signal périodique ? ▶3 Quelle est la relation de déﬁnition de la valeur eﬃcace d’un signal périodique ? (cours : II) Signal et spectre 1 / 10 Raoul Follereau | PTSI | 2019-2020 ▶4 Quelle est l’écriture mathématique générale d’un signal harmonique ? Nommer les diﬀérents paramètres qui y interviennent. Tracer l’allure du signal. ▶5 Quelle est la relation entre la pulsation et la fréquence ? et entre la pulsation et la période ? (cours : III) ▶6 Citer des ordres de grandeurs de fréquences dans le domaine de l’acoustique et de l’électromagnétisme. Par exemple quel est le domaine des fréquences acoustiques audibles ? Ce qu’il faut savoir faire Remarque : La liste ci-dessous comporte les savoir faire généraux, ainsi que des exemples concrets de questions qui peuvent être posées. Ces exemples ne sont pas exhaustifs : d’autres questions peuvent aussi être abordées. (cours : I) ▶7 Associer une grandeur physique à certains types de signaux courants → EC1 ▶8 Identiﬁer les caractéristiques d’un signal s(t) sur un tracé. → EC2 ▶9 Calculer une valeur moyenne ou eﬃcace sur un signal simple. → EC3, TD III (cours : II) ▶10 Déphasage : Reconnaître sur un tracé si un signal est en avance ou en retard par rapport à un autre. Donner la valeur d’un déphasage étant donnée la valeur du décalage temporel entre deux signaux syn- chrones (donc de même période). → TD IV (cours : III) ▶11 Exploiter le spectre d’un signal. → EC4, TD V Exercices de cours Exercice C1 – Associer une grandeur physique à certains types de si- gnaux courants Donner des grandeurs physiques associées aux signaux suivants : 1 - signal acoustique ; 2 - signal électromagnétique ; 3 - signal électrique ; 4 - signal lumineux. Exercice C2 – Identiﬁer les caractéristique d’un signal s(t) sur un tracé On donne ci-dessous les chronogrammes de quatre signaux sonores : les mots “Bonjour Alice” prononcés par quelqu’un, le son produit par un papier froissé, une note tenue au saxophone, et la tonalité d’un ancien téléphone ﬁxe. L’axe des abscisses est gradué en secondes. 1 - Pour chacun des signaux, indiquer s’il semble périodique sur la durée d’acquisition, et si oui mesurer sa période et calculer sa fréquence. “Bonjour Alice” : Papier froissé : Signal et spectre 2 / 10 Raoul Follereau | PTSI | 2019-2020 Saxophone : Tonalité de téléphone : (Source : Étienne Thibierge, www.etienne-thibierge.fr) Exercice C3 – Calculer une valeur moyenne On considère un signal créneau de période T = 10 s, de valeur minimale 0 V et maximale 5 V. 1 - Calculer sa valeur moyenne. Exercice C4 – Exploiter le spectre d’un signal On donne ci-dessous les spectres des quatre signaux de l’exercice de cours C2. “Bonjour Alice” : ... : Papier froissé : ... : (Source : Étienne Thibierge, www.etienne-thibierge.fr) 1 - Compléter l’identiﬁcation en attribuant le bon signal au saxophone et à la tonalité de téléphone. 2 - Quelle est la fréquence de la note jouée par le saxophone ? Et celle de la tonalité du téléphone ? 3 - Que dire des pics à basse fréquence sur le signal “bonjour Alice” ? Signal et spectre 3 / 10 Raoul Follereau | PTSI | 2019-2020 Le cours I – Qu’est-ce qu’un signal ? 1 – Grandeur physique et signal Déﬁnition Grandeur physique : C’est une propriété d’un phénomène, d’un évènement, d’un corps, que l’on peut exprimer par une mesure. Exemples : Déﬁnition Signal : Il s’agit de l’enregistrement d’une grandeur physique intéressante. “Intéressante” est une notion subjective. Une grandeur peut être intéressante pour traiter un problème, mais pas pour un autre. Exemples de signaux : Type de signal Grandeurs physiques associées signal acoustique signal électromagnétique signal électrique signal lumineux 2 – Cas particulier : le signal périodique a/ Déﬁnition, période et fréquence Déﬁnition Exemple : t s T T Voir EC2 pour d’autres exemples. Signal et spectre 4 / 10 Raoul Follereau | PTSI | 2019-2020 b/ Amplitudes Les grandeurs suivantes permettent de caractériser un signal périodique : • Les valeurs minimale Smin et maximale Smax. • La valeur crête à crête Scc = Smax −Smin. • L’amplitude Sm dans le cas où le signal est symétrique. t s Smax Smin Scc Sm Sm c/ Valeur moyenne Considérons le signal périodique ci-contre. Sa valeur moyenne est égale à la valeur moyenne sur une période. On peut la calculer de manière approchée en considérant des instants t1, t2, ..., tN comme sur la ﬁgure ci-dessus. La valeur moyenne vaut alors : ⟨s(t)⟩≃1 N N X i=1 s(ti). t s T On comprend bien que plus on prend un nombre N de points grand, plus on aura une approximation précise de ce qu’est la valeur moyenne. En fait, pour avoir la valeur exacte, il faut que N →+∞, et nous allons voir que ceci fait apparaître une intégrale. Faisons pour cela quelques manipulations. On introduit d’abord l’écart ∆t : ⟨s(t)⟩= 1 N∆t N X i=1 s(ti)∆t ⟨s(t)⟩= 1 T N X i=1 s(ti)∆t. On passe ensuite à la limite où N →+∞, donc où ∆t →0. La somme devient alors égale à l’aire sous la courbe, et est donnée par l’intégrale suivante (cf méthode des rectangles en mathématique) : lim ∆t→0 N X i=1 s(ti)∆t = ˆ t0+T t0 s(t)dt. On obtient donc : ⟨s(t)⟩= 1 T ˆ t0+T t0 s(t)dt. Finalement, on retiendra ce qui suit : Déﬁnition Valeur moyenne d’un signal s(t) de période T : (indépendant du choix de t0) Signal et spectre 5 / 10 Raoul Follereau | PTSI | 2019-2020 Propriétés Vue la déﬁnition de la moyenne et les propriétés de l’intégrale, on a : • • Exemple : calcul pour un signal créneau (cf EC3). d/ Valeur eﬃcace Déﬁnition Valeur eﬃcace de s(t) : Remarque : • On l’appelle aussi valeur RMS pour Root Mean Square. • Si on omet la racine carrée, on parle de valeur quadratique moyenne (donc pour la quantité ⟨s(t)2⟩). • La valeur eﬃcace intervient lorsqu’on s’intéresse à l’énergie d’un signal, car souvent il apparaît un carré. Par exemple avec l’énergie cinétique Ec = 1 2mv2(t), alors ⟨Ec⟩fait intervenir la moyenne quadratique de v. On a ⟨(s1(t) + s2(t))2⟩̸= ⟨s1(t)2⟩+ ⟨s2(t)2⟩, donc les valeurs eﬃcaces ne s’ajoutent pas ! Exemple : calcul pour un signal créneau (cf EC3). II – Signal harmonique 1 – Déﬁnitions Déﬁnition Signal harmonique : signal s’écrivant comme s(t) = S0 cos(ωt + ϕ). Avec : • S0 l’amplitude, • ω la pulsation (unité S.I. : radian par seconde, rad/s), • ϕ la phase à l’origine (unité S.I. : radian) ; elle donne la valeur initiale du signal : s(0) = S0 cos(ϕ). Elle est déﬁnie à 2π près. Propriétés On a ω = 2πf = 2π T . Démonstration : Signal et spectre 6 / 10 Raoul Follereau | PTSI | 2019-2020 Autres écritures : • s(t) = S0 sin(ωt + ϕ) • s(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt) Par abus de langage, on dit aussi parfois qu’un signal s(t) = S1 +S0 cos(ωt+ϕ) est aussi un signal harmonique, même s’il y a présence d’un terme constant S1. Une animation permettant de faire varier les paramètres : https://www.geogebra.org/m/xvtS8qV8. Exercices importants : ⇝1 Calcul de la valeur moyenne ⟨s(t)⟩. ⇝2 Calcul de la valeur eﬃcace Seﬀ. 2 – Déphasage entre signaux harmoniques On considère deux signaux sinusoïdaux de même période, et donc de même pulsation ω : Les signaux ayant même pulsation, ils sont dits synchrones. Déﬁnition Le déphasage du signal us par rapport au signal ue est déﬁni comme ϕ = ϕs −ϕe. Méthode : mesurer un déphasage entre deux signaux On repère deux instants consécutifs où les signaux passent par 0. On les notes te et ts. Le signal d’entrée sert de référence. Le déphasage entre sortie et entrée est donné par : uploads/Sante/ chap1-signal.pdf