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ECOLE CENTRALE PARIS Premi` ere Ann´ ee 2016-2017 Contrˆ ole du cours de Statis

ECOLE CENTRALE PARIS Premi` ere Ann´ ee 2016-2017 Contrˆ ole du cours de Statistique - 31 Janvier 2017 P.-H. Courn` ede Sans document. La dur´ ee du contrˆ ole est de 1H30. Exercice 1 Un jeu de hasard annonce une chance sur cing de gagner. Un organisme de r´ epression des fraudes cherche ` a v´ eriﬁer cette aﬃrmation en testant sur 400 joueurs si le nombre de gagnants est suﬃsant. 1) a) Proposer un test d’hypoth` ese param´ etrique pour cette v´ eriﬁcation. b) D´ eterminer (de fa¸ con implicite) la plus grande r´ egion critique exacte pour un test de niveau α = 0.05. c) A l’aide de la table sur la loi gaussienne standard fournie en annexe, d´ eterminer (de fa¸ con explicite) la plus grande r´ egion critique asymptotique pour un test de niveau α = 0.05. 2) Les observation empiriques mettent en ´ evidence 60 gagnants. En utilisant l’approxi- mation asymptotique, calculer la p-valeur. Quelle est la conclusion du test au niveau α = 0.05 ? 3) Proposer avec la syntaxe R ou Julia un programme permettant le calcul exact et approch´ ee de la p-valeur. Exercice 2 Nous rappelons que chez l’humain, une paire de chromosomes dits sexuels, chromosomes X et Y d´ eterminent le sexe : les hommes ont un chromosome X et un chromosome Y, alors que les femmes ont deux chromosomes X. Pour chaque enfant, un de ces chromo- somes vient du p` ere (al´ eatoirement le chromosome X ou le chromosome Y), et un autre vient de la m` ere (al´ eatoirement un des deux chromosomes X). L’h´ emophilie est une maladie de tranmission r´ ecessive li´ ee au chromosome X, cela si- gniﬁe que le g` ene responsable de la maladie est port´ e par le chromosome X, avec les cons´ equences suivantes : un homme portant le g` ene responsable de la maladie sur le chromosome X sera atteint de la maladie, alors qu’une femme portant le g` ene respon- sable de la maladie sur un seul de ses chromosomes X ne sera pas malade. En revanche, la maladie est souvent fatale pour une femme portant le g` ene sur ses deux chromosomes. 1) Nous consid´ erons la situation o` u une femme a son fr` ere qui est atteint de la maladie, alors que son p` ere ne l’est pas. On d´ esigne par H la variable telle que H = 1 si la femme est porteuse du g` ene de la maladie, et H = 0 sinon. D´ eterminer la distribution de probabilit´ e pour H. On pourra consid´ erer cette distribution comme la distribution a priori. 2) On suppose que cette femme a deux ﬁls (non jumeaux) qui ne sont pas atteints de la maladie. D´ eterminer la nouvelle distribution pour H en tenant compte de cette information. 3) On suppose que cette femme a un troisi` eme ﬁls. D´ eterminer d´ esormais la probabilit´ e que la femme soit porteuse du g` ene de la maladie si ce troisi` eme ﬁls n’est pas atteint de la maladie ? Et s’il est atteint de la maladie ? Exercice 3 On rappelle l’expression de la distribution pour la loi de Poisson de param` etre λ, si X ∼P(λ) : P(X = k) = λk k! e−λ, pour k ∈N. 1) Calculer l’esp´ erance E(X) et la variance V (X) de X. On cherche ` a estimer β = P(X = 0) ` a partir de l’observation d’un ´ echantillon (X1, X2, ..., XN), ind´ ependant, identiquement distribu´ e selon P(λ). 2) On construit un premier estimateur pour β : ˆ β1 = 1 N N X i=1 I(Xi=0) o` u I(Xi=0) est la fonction indicatrice qui vaut 1 si Xi = 0 et 0 sinon. Calculer son biais et sa variance. 3) a) Construire l’estimateur du maximum de vraisemblance ˆ λ pour λ. b) Soit φ une fonction bijective de Θ dans Θ′, telle que τ = φ(λ). Montrer que si ˆ λ est l’estimateur du maximum de vraisemblance L(λ; X1, . . . , XN) pour λ ∈Θ, alors φ(ˆ λ) est l’estimateur du maximum de vraisemblance pour la vraisemblance L∗(τ; X1, . . . , XN) d´ eﬁnie sur Θ′. Peut-on g´ en´ eraliser le r´ esultat au cas o` u φ n’est pas bijective ? c) En d´ eduire un deuxi` eme estimateur ˆ β2 pour β. A l’aide la m´ ethode delta, calculer son biais et sa variance asymptotiques. Donner une m´ ethode de construction d’un intervalle de conﬁance asymptotique de niveau (1 −α). d) L’estimateur ˆ β2 est-il consistant ? 2 e) Calculer la matrice d’information de Fisher pour le param` etre β. Comment retrouver la variance asymptotique de l’estimateur ` a partir de celle-ci ? f) Quel estimateur ˆ β1 ou ˆ β2 est asymptotiquement le plus eﬃcace ? 3 uploads/Sante/ controle-1a-2016-2017 1 .pdf