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Introduction à l’informatique quantique Le futur des ordinateurs ? Pierre Kuone

Introduction à l’informatique quantique Le futur des ordinateurs ? Pierre Kuonen : pierre.kuonen@hefr.ch © P. Kuonen Informatique quantique Petit récapitulatif ! Pourquoi est-on capable de fabriquer des ordinateurs ? ! On dispose d’une technologie permettant de fabriquer physiquement des dispositifs qui calculent des fonctions logiques booléennes élémentaires ! Fonction logiques: ET, OU, NON, etc… ! Dispositif physique: le transistor ! On dispose d’une théorie mathématique permettant de faire des calculs complexes à partir de ces fonctions logiques élémentaires ! L’algèbre de Boole ! On dispose de techniques permettant de synthétiser des circuits complexes à partir de circuits élémentaires pour réaliser des calculs complexes ainsi que de la mémoire ⟨ ! Les techniques de synthèse des circuits combinatoires et séquentiels 2 2018 © P. Kuonen Informatique quantique C’est quoi un ordinateur quantique ? ! Il s’agit non seulement d’une nouvelle technologie pour construire des circuits mais également d’une manière radicalement différente d’effectuer les calculs et d’écrire les programmes/algorithmes ! L’idée de base est d’exploiter les propriétés de la physique quantique pour faire des calculs ! On va utiliser plus particulièrement deux principes de la physique quantique ! La superposition quantique ! L’intrication quantique 3 2018 © P. Kuonen Informatique quantique Le principe de superposition quantique ! Le principe de superposition quantique dit qu’un objet quantique (échelle de l’atome) peut être dans plusieurs états en même temps ! Exemple de valeurs quantiques: spin, position, quantité de mouvement, … ! Ce principe n’a d’interprétation que dans le monde quantique car c’est une pure conséquence du modèle mathématique sur lequel est basé la physique quantique ! Ce modèle mathématique utilise des calculs de probabilité pour connaître l’état d’un objet quantique, chaque état étant associée à un coefficient de probabilité ! Si l’on utilise une valeur quantique, par exemple le spin d’un électron, pour implémenter un bit alors ce bit peut être à la fois à zéro et à un ..! ! On appelle cela un qubit (pour quantum bit, parfois aussi noté qbit) 4 2018 © P. Kuonen Informatique quantique La décohérence quantique ! La décohérence quantique permet d’effectuer le passage entre le monde quantique et le monde physique classique. ! Les objets physiques classiques que nous observons et manipulons chaque jour, sont constitués de particules élémentaire (atomes,…) qui sont régis par la physique quantique ! Par contre les phénomènes quantiques, tel que la superposition, ne s’observent pas à l’échelle macroscopique ! Une tasse ne peut pas être à deux endroits à la fois ! Les lois de la physique quantique sont valables pour un système quantique isolé ! Un système quantique peut difficilement être complètement isolé car il est en interaction avec un environnement. Ces interactions provoquent la disparition rapide des états superposés, c’est la décohérence quantique. ! En particulier, pour observer un état quantique on est contraint d’interagir avec l’objet quantique ce qui provoque sa décohérence et donc sa projection dans un état déterminé. 5 2018 © P. Kuonen Informatique quantique Les états d’un système physique ! En mécanique classique, l'état d'un système est représenté par un ensemble de grandeurs physiques à partir duquel on peut déterminer toutes les propriétés du système concerné ! Par exemple dans le cas d'un point matériel, l'état est complètement décrit par la donnée du vecteur position et de la quantité de mouvement ! En mécanique quantique, il n'est pas possible de supposer que les grandeurs physiques aient une valeur définie que l'on puisse mesurer sans perturber le système ! L'état quantique doit donc être vu comme représentant toute l'information disponible sur le système : une description de l'histoire du système permettant de calculer les probabilités de mesure ! Il faut comprendre que le système est dans un état quantique unique, mais que les mesures peuvent donner plusieurs résultats différents, chaque résultat étant associé à sa probabilité d'apparaître lors de la mesure. 6 2018 © P. Kuonen Informatique quantique Les états quantiques ! Pour résoudre ce problème les physiciens/mathématiciens ont élaboré une théorie dans laquelle les états d’un système quantique sont représentés par un vecteur dans un espace vectoriel complexe de Hilbert ! Un espace vectoriel complexe est un espace vectoriel dans lequel les cordonnées des vecteurs ℂ ! Un espace de Hilbert est un espace vectoriel muni d'un produit scalaire euclidien ou hermitien ! Lorsque l'on associe deux systèmes V1 et V2 pour en faire un plus gros, l'espace des états de ce gros système est le produit tensoriel des espaces des états associés aux deux sous-systèmes V1 et V2. 7 2018 © P. Kuonen Informatique quantique Produit tensoriel ! Soit deux espaces vectoriels de dimension finie munis de leur base canonique : E de dimension m et F de dimension n. ! Soit deux vecteurs : x ∈ E, de composantes (x1, x2, …, xm), et y ∈ F, de composantes (y1, y2, …, yn). ! Alors le produit tensoriel x ⊗ y de ces deux vecteurs est la matrice de dimension m × n : 8 2018 Exemple: = © P. Kuonen Informatique quantique Les états quantiques: Notation “bra-ket” ! En logique classique un bit peut prendre deux états que nous notons 0 et 1 ! L’état d’un bit peut être représenté par une variable: q ! En logique quantique comme les états sont des vecteurs d’un espace vectoriel de Hilbert, on utilise la notation de Dirac (dite “bra-ket”, 1939). On note les états quantiques zéro et un de la manière suivante: |0⟩ et |1⟩ ! L’état d’un qubit sera noté par la variable : |q⟩ (aussi dite “ket”) ! En toute généralité on a: |q⟩ = a|0⟩+b|1⟩ avec |a|2 + |b|2 = 1 où a et b sont des nombres complexes (|q⟩ est un vecteur unité dans l’espace vectoriel complexe de dimension 1) ! |a|2 est la probabilité d’observer le qubit dans l’état |0⟩ et |b|2 est la probabilité d’observer le qubit dans l’état |1⟩ 9 2018 © P. Kuonen Informatique quantique Exemple: Représentation matricielle dans 10 2018 y ! Si on utilise la représentation matricielle habituelle ! |0⟩ = , |1⟩ = et |q⟩ = ! On peut représenter cela dans un espace vectoriel euclidien de dimension deux ! Comme |a|2 + |b|2 = 1, les valeurs possibles pour un qubit se situent sur le cercle de rayon unité centré à l’origine (en rouge sur le schéma) On remarque que: - |q⟩, |0⟩ et |1⟩ sont des vecteurs - |0⟩ et |1⟩ forme une base 0 1 1 a b x |0⟩ |1⟩ |q⟩ © P. Kuonen Informatique quantique Produit scalaire hermitien ! Dans un espace vectoriel à deux dimensions on définit ainsi un produit scalaire hermitien (ou plus simplement “produit scalaire”): ! produit scalaire de |q⟩= par |q’⟩= = (a,b) = ⟨q||q’⟩ = a.a’ + b.b’ ! Par convention on note ce produit scalaire ! ⟨q|q’⟩ et non ⟨q||q’⟩ ! On voit ici apparaitre la notation ⟨q| = (a,b) (aussi dite “bra”) ! (a,b) est une forme linéaire (ou plus simplement forme) noté: ⟨q| ! est un vecteur noté: |q⟩, c’est le dual de la forme ⟨q| (et réciproquement) ! On a les propriétés suivantes (je vous laisse faire la vérification) ! ⟨0|1⟩ = ⟨1|0⟩ = 0 et ⟨0|0⟩ = ⟨1|1⟩ = 1 ! si q= alors ⟨q|0⟩ = a et ⟨q|1⟩=b 11 2018 , , , , © P. Kuonen Informatique quantique La formule d’Euler: eix = cos(x) + i sin(x) ! Elle permet d’écrire: a+ib = ρ.eiφ ! Avec: a=cos(φ) et b=sin(φ) ! Cette formule peut être interprétée de la façon suivante: ! la fonction φ eiφ, (appelée fonction cis), décrit le cercle unité dans le plan complexe lorsque φ varie dans l'ensemble des nombres réels ! φ représente la mesure de l'angle orienté que fait la demi-droite d'extrémité l'origine et passant par un point du cercle unité avec la demi-droite des réels positifs. ! La formule n'est valable que si sin et cos ont des arguments exprimés en radians et non en degrés ! Cette formule a de nombreuses applications que nous ne détaillerons pas ici 12 2018 Architecture d’ ordinateur La formule d’Euler: démonstration 13 Année académique 2017-2018 © P. Kuonen © P. Kuonen Informatique quantique Dimension de l’espace vectoriel des qubits ! Avec ce que nous avons vu, un qubit |ψ⟩ est représenté par un vecteur dans le plan complexe ℂ2 ! |ψ⟩ = a|0⟩ + b|1⟩ = a + b = avec a, b ∈ ℂ et |a|2+|b|2=1 ! On dit que |ψ⟩ est une vecteur normalisé ! L’espace des qubits est donc de dimension 3 ! Si on écrit: a=x0+iy0 et b=x1+iy1 on peut vérifier que le quadruplet (x0,y0,x1,y1) est sur la sphère unité de dimension 3 dans l’espace réel euclidien de dimension 4 ! Cependant, il est possible de ne considérer qu’un espace de dimension 2 en se restreignant aux qubits dits purs. ! Pour cela il faut considérer comme équivalent des qubits ψ et ψ’ s’ils sont proportionnels entre eux, c’est à dire: |ψ′⟩ = z|ψ⟩ = avec z ∈ ℂ ! Il est à noter que z est forcément de uploads/Sante/ infoquantique-pdf.pdf