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Planche no Convexité Corrigé Exercice no La fonction f x ? x est convexe sur R car deux fois dérivable sur R de dérivée seconde positive sur R Par suite pour tous réels et ? et pour tout réel ? ?? ?? ? ? ? Soient x y x y ?? E et ? ?? ?? ? ? ? ?? ? x a ?x ?? ? y b ?y ?? ? x a ?x ?? ? y b ?y ?? ? x a y b ? x a y b ?? ? ? car ?? ? et ? On a montré que pour tous x y x y ?? E et ? ?? ?? ? x y ? x y ?? E Donc E est un convexe de R b E ??a a ??b Exercice no Soient x y ?? B puis ? ?? N ?? ? x ?y N ?? ? x N ?y ?? ? N x ? N y ?? ? N x ?N y ?? ? ? car ?? ? et ? On a montré que pour tout x y ?? B et tout ? ?? ?? ? x ?y ?? B et on a donc montré que B est un convexe de E Exercice no Soient x et y deux réels strictement positifs tels que x y ? m x y y y y Donc m y ? ? m ??g g ??xy x y ?? x ?? ??xy x ?? ??xy ? x x Donc x g y m ?? x ? ?? ??y y Donc g m y c Jean-Louis Rouget Tous droits réservés http www maths-france fr C h est la moyenne arithmétique de x et y avec y x D ? après ce qui précède y g x ? y h x et donc x h g y et ?nalement x h g m y Soient x xn n réels strictement positifs o? n La fonction t ? ln t est concave sur ? car sa dérivée seconde à savoir t ? ?? t est strictement négative sur ? On en déduit que n ln x n ln xn ln n x n xn ou encore ln ??n x xn ln x xn n ou en ?n ??n x xn x xn n Exercice no Inégalités de H? lder et de Minkowski ère solution Soient p q ?? ? tel que p q et x et y deux réels positifs L ? inégalité est immédiate quand x ou y Dorénavant x et y sont strictement positifs Par concavité de la fonction ln sur ? ln xy ln x ln y ln xp ln xq ln xp xq p q pq et donc xy xp p xq par q croissance de la fonction ln sur ? ème solution Soit p q ?? ? tel que p q puis x et y deux réels positifs L ? inégalité est immédiate quand y Soit y ?xé Pour x on pose f x xp p