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Developpements limites CHAPITRE DEVELOPPEMENTS LIMITES Le but de ce chapitre est de montrer que certaines fonctions usuelles peuvent être approchées localement par des fonctions polynomiales I- Développement limité au voisinage de Dé ?nition Soit f une fo

CHAPITRE DEVELOPPEMENTS LIMITES Le but de ce chapitre est de montrer que certaines fonctions usuelles peuvent être approchées localement par des fonctions polynomiales I- Développement limité au voisinage de Dé ?nition Soit f une fonction dé ?nie au voisinage de sauf peut-être en On dit que f admet un développement limité à l ? ordre n au voisinage de et on note DLn s ? il existe un polynôme de degré inférieur ou égal à n Pn ??x ?? ? a ? a x ? a x ? ? an x n tel que ? x ? V f ??x ?? ? Pn ??x ?? ? x n ? ??x ?? avec lim ? ??x ?? ? x La partie polynomiale Pn ??x ?? s ? appelle la partie régulière ou partie principale du DL et xn ? ??x ?? s ? appelle le reste ou le terme complémentaire Théorème Si f admet un DLn alors il est unique Condition su ?sante d ? existence d ? un DL Si f est dé ?nie sur un voisinage de et si f est n fois dérivable en alors f admet un DLn donné par la formule suivante dite formule de Maclaurin Young f ??x ?? ? f ?? ?? ? x f ' ?? ?? ? x f '' ?? ?? ? ? x n f ??n ?? ?? ?? ? x n ? ??x ?? avec lim ? ??x ?? ? n x Ceci nous donne les DLn suivants des fonctions usuelles ? ? x ? x ? ? x n ? x n ? ??x ?? -x ? ?? x ? x ? ? ?? ?? ??n x n ? x n ? ??x ?? x ex ? ? x x ? ? ? x n ? x n ? ??x ?? n ln ?? ? x ?? ? x ?? x ? ? ?? ?? ??n ?? x n ? x n ? ??x ?? n ln ?? ?? x ?? ? ??x ?? x ?? ?? x n ? x n ? ??x ?? n ?? ? x ?? ?? ? ? ??x ? ?? ?? ?? ?? ?? x ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? n ? ?? x n ? x n ? ??x ?? n II- Opérations sur les DL a- DL d ? une somme Si f ??x ?? ? Pn ??x ?? ? x n ? ??x ?? et g ??x ?? ? Qn ??x ?? ? x n ? ??x ?? alors ??f ??x ?? ? g ??x ?? ?? ? ??Pn ??x ?? ? Qn ??x ?? ?? ? x n ? ??x ?? - CExemple Soit f ??x ?? ? e x ? ln ?? ? x ?? DL f e x ? ? x ? x ? x ? x ? ??x ?? et ln ?? ? x ?? ? x ?? x ? x ? x ? ??x ?? Par suite f ??x